Question

Решите пожалуйста sin3xcosx+cos3xsinx>=1/2

Answer 1

Sin3xcosx + cos3xsinx ≥ 1/
sin(3x + x) ≥ 1/2
sin4x ≥ 1/2
π/6 + 2πn ≤ 4x ≤ π - π/6 + 2πn, n ∈ Z
π/24 + πn/2 ≤ x ≤ 5π/24 + πn/2, n ∈ Z

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \( \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) \) и попробуем упростить его.

Используя тригонометрический тождество для суммы углов, мы можем записать:

\[ \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) = \sin(3x + x) = \sin(4x) \]

Теперь у нас есть уравнение \( \sin(4x) \geq \frac{1}{2} \).

Чтобы решить это неравенство, давайте определим значения \(x\), для которых \(\sin(4x) = \frac{1}{2}\).

Рассмотрим угол \(\theta\), для которого \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\). Это происходит, когда \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(\theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, мы имеем:

\[ 4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

Решая для \(x\), получаем:

\[ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2}k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2}k \]

где \(k\) - целое число.

Теперь мы должны определить, в каких интервалах \(x\) выполнено неравенство \(\sin(4x) \geq \frac{1}{2}\). Вспомним, что \(\sin(\theta)\) положителен в первом и во втором квадрантах. Таким образом, для удовлетворения неравенства мы должны взять значения \(x\) из интервалов:

\[ \left[ \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2}k, \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2}k \right] \]

где \(k\) - целое число.

Таким образом, решение исходного неравенства \( \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) \geq \frac{1}{2} \) - это множество всех \(x\), принадлежащих указанным интервалам.