Question

Y=25x+25cosx-14 нужно найти наибольшее значение функции

Answer 1

Производная y'=25-25*sin(x) обращается в 0 при sin(x)=1, т.е при x=π/2+2*π*n, где n∈Z. Так как предел функции y=25*x+25*cos(x)-14 при x⇒+∞=+∞, а при x⇒-∞=-∞, то на всей области определения, которой является вся числовая ось, ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет.  

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции \(y = 25x + 25\cos(x) - 14\) нужно использовать метод дифференцирования и приравнять производную к нулю.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y'(x) = 25 - 25\sin(x)\]

2. Теперь приравняем \(y'\) к нулю и решим уравнение:

\[25 - 25\sin(x) = 0\]

Решение этого уравнения даст нам точку, в которой производная равна нулю, что является критической точкой для нашей функции.

\[25\sin(x) = 25\]

\[\sin(x) = 1\]

Решение этого уравнения - это \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

3. Теперь подставим полученное значение \(x\) в исходную функцию \(y\), чтобы найти соответствующее значение \(y\):

\[y\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 25\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + 25\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) - 14\]

Обратите внимание, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 0\) для любого целого числа \(k\), так как \(\cos\) имеет период \(2\pi\).

Таким образом, \(y\) при \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) будет равно:

\[y\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 25\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) - 14\]

4. Теперь нужно найти максимальное значение этой функции. Мы видим, что при увеличении значения \(k\), значение функции также увеличивается. Таким образом, максимальное значение будет находиться при максимальном возможном значении \(k\).

Таким образом, максимальное значение функции достигается при \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число, и будет равно:

\[y_{\text{макс}} = 25\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) - 14\]

Это будет максимальное значение функции \(y = 25x + 25\cos(x) - 14\).