Question

1. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-2x в точке с абсциссой x0=-2 2. Уравнение движения тела имеет вид s(t)=2,5t^2+1,5t. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

Answer 1

1) Уравнение касательной имеет вид: у - у₀ = f'(x₀) ( x - x₀)
(x₀;y₀) - точка касания, f'(x₀) - это значение производной в точке касания.
у₀ = (-2)² - 2*(-2) = 8
f'(x) = 2x - 2
f'(x₀) = f'(-2) = 2*(-2) - 2= -6
пишем уравнение:
у - 8 = -6(х +2)
у - 8 = -6х -12
у = -6х -4
2)V = S'(t) = 5t +1,5
V=S'(t) = S'(4) = 5*4 +1,5 = 21,5

Answer 2

1. Уравнение касательной:

Для нахождения уравнения касательной к графику функции \(f(x) = x^2 - 2x\) в точке с абсциссой \(x_0 = -2\), используется производная функции, которая представляет собой угловой коэффициент касательной в данной точке.

\[f(x) = x^2 - 2x\]

\[f'(x) = 2x - 2\]

Теперь найдем значение производной в точке \(x_0 = -2\):

\[f'(-2) = 2(-2) - 2 = -6\]

Угловой коэффициент касательной равен -6. Теперь используем формулу уравнения прямой:

\[y - y_0 = m(x - x_0)\]

где \(m\) - угловой коэффициент, а \((x_0, y_0)\) - координаты точки касания.

\[y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\]

Подставляем \(x_0 = -2\), \(f(x_0) = (-2)^2 - 2(-2)\):

\[y - (-8) = -6(x + 2)\]

Упрощаем:

\[y + 8 = -6x - 12\]

\[y = -6x - 20\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке \((-2, -8)\) равно \(y = -6x - 20\).

2. Скорость тела через 4 секунды:

Уравнение движения тела дано как \(s(t) = 2.5t^2 + 1.5t\), где \(s\) - положение тела в момент времени \(t\). Скорость - это производная положения по времени, то есть \(v(t) = s'(t)\).

\[s(t) = 2.5t^2 + 1.5t\]

\[v(t) = s'(t) = 5t + 1.5\]

Теперь найдем скорость через 4 секунды (\(t = 4\)):

\[v(4) = 5 \times 4 + 1.5 = 20 + 1.5 = 21.5\]

Таким образом, скорость тела через 4 секунды после начала движения равна \(21.5\) единиц времени (предположим, что единицы времени соответствуют единицам измерения времени в уравнении движения).