Question

Решить систему {x^2 + x y + y^2 = 91, x + sqrt(x y) + y = 13}

Answer 1

{x^2+2xy+y^2 -xy=91,
x+√xy+y=13},
{(x+y)^2 -xy=91, (x+y)+√(xy)=13},
Делаем замену: x+y=p, √(xy)=q,
{p^2 -q^2=91, p+q=13},
{(p-q)(p+q)=91, p+q=13},
{(p-q)13=91, p+q=13},
{p-q=7, p+q=13}, {p=10, q=3},
{x+y=10, √(xy)=3},{x+y=10,xy=9},
{x=10-y,(10-y)y=9},{x=10-y,y^2-10y+9=0}
{x=10-y, (y-9)(y-1)=0},{x=10-y,y=9,y=1},
{x=1,y=9} или {x=9,y=1}

Answer 2

Чтобы решить данную систему уравнений, давайте обозначим:

\(A = x^2 + x + y + y^2\)

\(B = x + \sqrt{x + y} + y\)

Теперь мы можем переписать систему уравнений:

1. \(A = 91\) 2. \(B = 13\)

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} A = 91 \\ B = 13 \\ \end{cases} \]

Рассмотрим уравнение \(A = 91\):

\[ x^2 + x + y + y^2 = 91 \quad \text{(1)} \]

Теперь рассмотрим уравнение \(B = 13\):

\[ x + \sqrt{x + y} + y = 13 \quad \text{(2)} \]

Давайте решим эту систему уравнений.

Из уравнения (2) можно выразить \(\sqrt{x + y}\):

\[ \sqrt{x + y} = 13 - x - y \]

Теперь подставим это выражение в уравнение (1):

\[ x^2 + x + y + y^2 = 91 \quad \text{(1)} \]

\[ x^2 + x + y + y^2 = 91 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x + y + y^2 - 91 = 0 \quad \text{(3)} \]

Теперь выразим \(y\) из уравнения (3):

\[ y = 91 - x^2 - x - y^2 \]

Теперь подставим это значение в уравнение (2):

\[ x + \sqrt{x + (91 - x^2 - x - y^2)} + (91 - x^2 - x - y^2) = 13 \]

\[ x + \sqrt{x + 91 - x^2 - x - y^2} + 91 - x^2 - x - y^2 = 13 \]

\[ x + \sqrt{-x^2 - 2x + 91 - y^2} + 91 - x^2 - x - y^2 = 13 \]

\[ \sqrt{-x^2 - 2x + 91 - y^2} = 13 - x - 91 + x^2 + x + y^2 \]

\[ -x^2 - 2x + 91 - y^2 = (13 - x - 91 + x^2 + x + y^2)^2 \]

\[ -x^2 - 2x + 91 - y^2 = 169 - 26x + x^2 - 1859 + 182x + x^2 + y^2 \]

\[ x^2 - 183x + 1 + y^2 = 0 \quad \text{(4)} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + x + y + y^2 - 91 = 0 \quad \text{(3)} \\ x^2 - 183x + 1 + y^2 = 0 \quad \text{(4)} \end{cases} \]

Решим эту систему. После решения системы можно будет подставить полученные значения \(x\) и \(y\) обратно в уравнения (1) и (2), чтобы убедиться в их корректности. Однако, уравнения данной системы довольно сложны, и решение может потребовать использования численных методов или программных средств для вычислений.