Question

F(x)=7/2x+5 P.s (2x+5) под корнем, найдите все первообразные функции

Answer 1

$\int\frac{7}{\sqrt{2x+5}}dx=7*\frac{1}{2}\int\frac{d(2x+5)}{\sqrt{2x+5}}=\frac{7}{2}*2\sqrt{2x+5}+C=7\sqrt{2x+5}+C$

$\int\frac{7}{\sqrt{2x+5}}dx=7\int\frac{dt}{2\sqrt t}=7*\frac{1}{2}*2\sqrt t+C=7\sqrt{2x+5}+C\\t=2x+5=\ \textgreater \ dt=2dx=\ \textgreater \ dx=\frac{dt}{2}$

Answer 2

F(x)=7/(2x+5)
F(x)=7√(2x+5) *2/2+C=7√(2x+5)+C
--------------------------------
F(a^n)=a^(n+1)/(n+1)

Answer 3

Для нахождения первообразной функции \( F(x) = \frac{7}{2}x + 5 + \sqrt{2x + 5} \), мы будем находить ее по частям (integration by parts) для первого слагаемого \( \frac{7}{2}x \) и интегрирования для второго слагаемого \( \sqrt{2x + 5} \).

1. Интегрирование первого слагаемого: \[ \int \frac{7}{2}x \,dx = \frac{7}{4}x^2 \]

2. Интегрирование второго слагаемого: Для интегрирования \(\sqrt{2x + 5}\) проведем замену переменной: \[ u = 2x + 5 \] \[ \frac{du}{dx} = 2 \] \[ dx = \frac{1}{2}du \]

Теперь мы можем подставить замену в интеграл: \[ \int \sqrt{2x + 5} \,dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \,du \] \[ = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \,du \]

Теперь интегрируем по \(u\): \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} \] \[ = \frac{1}{3}(2x + 5)^{3/2} \]

Теперь соберем все вместе:

\[ F(x) = \frac{7}{4}x^2 + \frac{1}{3}(2x + 5)^{3/2} + C \]

где \( C \) - константа интегрирования. Это будет общим видом первообразной для данной функции.