Question

Напомните log2 (x^2-x-2)<0

Answer 1

$x^2-x-2>0;(x-2)(x+1)>0;$

x є $(-\infty;-1) \cup (2;+\infty)$

 

$2>1;x^2-x-2<2^0;\\\\x^2-x-2-1<0;x^2-x-3<0;\\\\D=1+12=13;a=1>0;-1>x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{2};\\\\x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{2}>2;$

x є $(\frac{1-\sqrt{13}}{2};(\frac{1+\sqrt{13}}{2})$

 

обьединяя окончательно  $(\frac{1-\sqrt{13}}{2};-1) \cup(2;\frac{1+\sqrt{13}}{2})$

Answer 2

Для решения неравенства \( \log_2(x^2 - x - 2) < 0 \), давайте разберемся с логарифмом. Логарифм с основанием 2 будет отрицательным только тогда, когда его аргумент (в данном случае \( x^2 - x - 2 \)) находится в интервале \( 0 < x^2 - x - 2 < 1 \).

1. Находим корни уравнения внутри логарифма: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Мы можем решить это квадратное уравнение, факторизацией или используя квадратное уравнение:

\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).

2. Получаем интервалы: Теперь мы знаем, что уравнение \( x^2 - x - 2 \) обращается в ноль при \( x = -1 \) и \( x = 2 \). Мы можем использовать эти точки, чтобы разбить числовую прямую на три интервала: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 2) \) - \( (2, +\infty) \)

3. Анализируем знак выражения внутри логарифма: Теперь мы выбираем по одной точке из каждого интервала и анализируем знак выражения \( x^2 - x - 2 \). - Для интервала \((- \infty, -1)\), выбираем \( x = -2 \) (любое число меньше -1), получаем положительный знак. - Для интервала \((-1, 2)\), выбираем \( x = 0 \) (любое число между -1 и 2), получаем отрицательный знак. - Для интервала \((2, +\infty)\), выбираем \( x = 3 \) (любое число больше 2), получаем положительный знак.

4. Проверяем условие \( \log_2(x^2 - x - 2) < 0 \): Теперь мы видим, что логарифм будет меньше нуля только в интервале \((-1, 2)\), где выражение \( x^2 - x - 2 \) отрицательно.

5. Ответ: Таким образом, решением неравенства \( \log_2(x^2 - x - 2) < 0 \) является интервал значений \( x \) от -1 до 2, исключая конечные точки (-1 и 2):

\[ x \in (-1, 2) \]