Question

Знайдіть загальний вігляд первісних для фнкцій f(x)=e^x+1/sin^2x

Answer 1

$f(x)=e^{x}+\frac{1}{sin^2x}\\\\F(x)=e^{x}-ctgx+C$

Answer 2

Щоб знайти загальний вигляд похідних для функції \( f(x) = e^x + \frac{1}{\sin^2x} \), спершу розглянемо кожну складову окремо.

1. Перша складова \( e^x \): - Похідна від \( e^x \) за відношенням до \( x \) дорівнює самій функції: \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \).

2. Друга складова \( \frac{1}{\sin^2x} \): - За використанням ланцюжкового правила для функції \( \frac{1}{u} \), де \( u = \sin^2x \), отримаємо: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin^2x}\right) = -2\frac{\cos x}{\sin^3x} \]

Отже, похідна функції \( f(x) \) за відношенням до \( x \) буде сумою похідних її складових: \[ \frac{d}{dx}\left(e^x + \frac{1}{\sin^2x}\right) = e^x - 2\frac{\cos x}{\sin^3x} \]

Це є загальним виглядом похідної для заданої функції.