Question

Sin(arcsin√2/2-arccos√2/2)

Answer 1

$sin\, (arcsin\frac{\sqrt2}{2}-arccos\frac{\sqrt2}{2})=sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin0=0$

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение по частям.

У нас есть \( \sin(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})) \).

Обозначим \(\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})\) и \(\beta = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})\). Тогда наше выражение примет вид \(\sin(\alpha - \beta)\).

Теперь воспользуемся тригонометрическими идентичностями. Формула для разности углов в синусе гласит:

\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \]

Теперь нам нужно найти значения \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\sin\beta\), и \(\cos\beta\).

Мы знаем, что \(\sin(\arcsin x) = x\) и \(\cos(\arccos x) = x\). Таким образом, \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Также, используя тригонометрическую идентичность \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), мы можем найти \(\cos\alpha\) и \(\sin\beta\). Для \(\alpha\):

\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{1}{2} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = \frac{1}{2} \] \[ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Для \(\beta\):

\[ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 \] \[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2\beta = 1 \] \[ \frac{1}{2} + \cos^2\beta = 1 \] \[ \cos^2\beta = \frac{1}{2} \] \[ \cos\beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, мы получаем следующие значения:

\[ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \] \[ \sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Теперь подставим эти значения в исходную формулу:

\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \]

\[ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} \]

\[ = 0 \]

Таким образом, \(\sin(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})) = 0\).