Question

Числовая функция f такова, что для любых m и n выполняется равенство f( m+n ) = f( m ) + f( n ) + 100mn. Найдите f( 2 ), если f( 0,5 )= 10

Answer 1

2, можно представить как 1+1, а 1 - как 0.5 + 0.5. Тогда получим
f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) + 100 = 2f(1) + 100 = 2f(0.5 + 0.5) + 100 = 2(f(0.5) + f(0.5) + 25) + 100 = 2(10 + 10 + 25) + 100 = 2 * 45 + 100 = 90 + 100 = 190

Answer 2

Давайте воспользуемся данным равенством и найдем значение функции \( f(2) \), используя известное значение \( f(0.5) \).

Исходное уравнение:

\[ f(m + n) = f(m) + f(n) + 100mn \]

Подставим \( m = 1 \) и \( n = 1 \):

\[ f(2) = f(1) + f(1) + 100 \cdot 1 \cdot 1 \]

Теперь подставим \( m = 0.5 \) и \( n = 0.5 \) (воспользуемся тем, что \( 1 = 0.5 + 0.5 \)):

\[ f(1) = f(0.5) + f(0.5) + 100 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \]

Имеем \( f(0.5) = 10 \), поэтому:

\[ f(1) = 10 + 10 + 100 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \]

Теперь мы можем использовать значение \( f(1) \) для вычисления \( f(2) \):

\[ f(2) = f(1) + f(1) + 100 \cdot 1 \cdot 1 \]

Подставим \( f(1) \):

\[ f(2) = 10 + 10 + 100 \cdot 1 \cdot 1 \]

Вычислим значения:

\[ f(2) = 20 + 100 \]

\[ f(2) = 120 \]

Таким образом, \( f(2) = 120 \), при условии, что \( f(0.5) = 10 \).