Question

1.Натуральное число называется палиндромом,если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например,626-палиндром,а 2015-нет).представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов. 2.На доске была написана несократимая дробь.Петя уменьшил ее числитель на 1,а знаменатель на 2.А Вася прибавил к числителю 1,а знаменатель оставил без изменений.Оказалось что в результате мальчики получили одинаковые значения.Какой именно результат у них мог получиться ? 3.В треугольнике ABC медиана,выходящая из вершины A,перпендикулярна биссектрисе угла B,а медиана,выходящая из вершины B,перпендикулярна биссектрисе угла A. Известно,что сторона AB =1.Найдите периметр треугольника ABC 4.Есть 3 сосуда объемом 3 л,4 л и 5 л без делений,кран с водой,раковина и 3 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6 л смеси воды с сиропом так,чтобы в каждом сосуде количество воды было равно количеству сиропа?

Answer 1

1) 2015=1551+464. Догадаться нетрудно. Самый большой трехзначный палиндром это 999. Но 999+999=1998<2015. Значит, одно число больше 1000. Если оно начинается на 1, то т кончается 1. Тогда второе начинается и кончается 4, чтобы сумма кончалась на 5. Дальше просто подбираем.
2) Была дробь x/y. Петя получил (x-1)/(y-2). А Вася получил (x+1)/y. И дроби получились равные.
(x-1)/(y-2)=(x+1)/y
y(x-1)=(x+1)(y-2)
xy-y=xy+y-2x-2
-2y=-2x-2
y=x+1
Была дробь, например, 3/4, а стала у Пети 2/2, а у Васи 3/3. Обе дроби равны 1.
Ответ : 1
3) С геометрией у меня проблемы, извините.
4) Долго думал, не получается.

Answer 2

1. Представление числа 2015 в виде суммы двух палиндромов:

Чтобы представить число 2015 в виде суммы двух палиндромов, мы можем рассмотреть следующий подход:

\[2015 = 2002 + 13\]

Где 2002 и 13 - палиндромы. Это потому, что \(2002 = 2 \times 1001\) и \(1001\) - палиндром. Таким образом, число 2002 - также палиндром, и оно состоит из двух палиндромов: 2 и 1001. Число 13 - палиндром само по себе.

2. Дробь Пети и Васи:

Обозначим исходную несократимую дробь как \(\frac{a}{b}\). После действий Пети у нас будет \(\frac{a-1}{b-2}\), а после действий Васи - \(\frac{a+1}{b}\). Условие уравнения:

\[\frac{a-1}{b-2} = \frac{a+1}{b}\]

Решая это уравнение, мы получим:

\[a = b - 1\]

Таким образом, результатом может быть любая пара чисел вида (k, k-1), где k - любое целое число.

3. Периметр треугольника ABC:

Обозначим стороны треугольника как \(AB = 1\), \(BC = a\), и \(CA = c\). Также, обозначим \(AM\) и \(BN\) как медианы, где \(M\) и \(N\) - середины сторон \(BC\) и \(CA\) соответственно.

Согласно условию задачи, \(AM \perp BN\) и \(BM \perp AN\). Поскольку \(BM \perp AN\), то треугольник \(BNA\) прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[BN^2 + NA^2 = BA^2\] \[\left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 1^2\] \[\frac{c^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 1\] \[c^2 + a^2 = 4\]

Также, так как \(AM \perp BN\), то треугольник \(BAM\) прямоугольный, и мы можем снова использовать теорему Пифагора:

\[AM^2 + BM^2 = BA^2\] \[\left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 1^2\] \[\frac{c^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 1\] \[c^2 + a^2 = 4\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[c^2 + a^2 = 4\] \[c^2 + a^2 = 4\]

Это система уравнений, и ее решение - \(c = a = \sqrt{2}\). Теперь мы можем найти третью сторону \(BC\) с использованием теоремы косинусов:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\] \[BC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle BAC)\] \[BC^2 = 3 - 2 \sqrt{2} \cos(\angle BAC)\]

Теперь, учитывая, что \(BC = \sqrt{2}\), мы можем решить уравнение:

\[2 = 3 - 2 \sqrt{2} \cos(\angle BAC)\] \[\cos(\angle BAC) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, \(\angle BAC = 45^\circ\), и треугольник ABC - равносторонний треугольник с периметром \(3 \sqrt{2}\).

4. Переливание сосудов:

В данной задаче нельзя получить 6 литров смеси в каждом сосуде, при условии равенства количества воды и сиропа в каждом сосуде после каждого переливания. Это связано с тем, что сумма объемов воды и сиропа в каждом сосуде остается постоянной, и невозможно равномерно увеличивать количество смеси в каждом сосуде.