Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ sin(3x - π/3)=sinx

Answer 1

$sin(3x- \pi /3)=sinx\\sin(3x- \pi /3)-sinx=0\\2sin \frac{3x- \pi /3-x}{2}*cos \frac{3x- \pi /3+x}{2}=0\\\\2sin(x- \pi /6)*cos(4x- \pi /6)=0\\\\sin(x- \pi /6)=0\\x- \pi /6= \pi n, n\in Z\\x_1= \pi /6+ \pi n, n\in Z\\\\cos(4x- \pi /6)=0\\4x- \pi /6= \pi /2+ \pi n, n\in Z\\4x= \pi /6+ \pi /2+ \pi n, n\in Z\\4x=2 \pi /3+ \pi n, n\in Z\\x_2= \pi /6+ \pi n/4, n\ in Z$

Answer 2

Для решения уравнения sin(3x - π/3) = sin(x) мы можем использовать тригонометрические свойства и методы решения тригонометрических уравнений. Давайте разберемся подробнее.

Использование тригонометрических тождеств

Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством для синуса, которое гласит: sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Применим это тождество к уравнению sin(3x - π/3) = sin(x): sin(3x)cos(π/3) - cos(3x)sin(π/3) = sin(x)

Приведение подобных слагаемых

Раскроем cos(π/3) и sin(π/3), которые равны 1/2 и √3/2 соответственно: (sin(3x))(1/2) - (cos(3x))(√3/2) = sin(x)

Упрощение уравнения

Упростим уравнение, умножив оба слагаемых на 2: sin(3x) - (√3/2)cos(3x) = 2sin(x)

Преобразование синуса и косинуса

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x). Применим это к уравнению: (sin(3x))(1 - cos^2(x)) - (√3/2)cos(3x) = 2sin(x)

Приведение подобных слагаемых

Раскроем скобки: sin(3x) - sin(3x)cos^2(x) - (√3/2)cos(3x) = 2sin(x)

Перенос слагаемых

Перенесем все слагаемые на левую сторону уравнения: sin(3x) - sin(3x)cos^2(x) - (√3/2)cos(3x) - 2sin(x) = 0

Факторизация

Теперь мы можем факторизовать уравнение, вынеся общий множитель sin(3x): sin(3x)(1 - cos^2(x)) - (√3/2)cos(3x) - 2sin(x) = 0

Подстановка тригонометрических тождеств

Мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1: sin(3x)(1 - (1 - sin^2(x))) - (√3/2)cos(3x) - 2sin(x) = 0

Упрощение

Упростим уравнение: sin(3x)(sin^2(x)) - (√3/2)cos(3x) - 2sin(x) = 0

Факторизация

Мы можем факторизовать уравнение, вынеся общий множитель sin(x): sin(x)(sin(3x)sin(x) - (√3/2)cos(3x) - 2) = 0

Уравнение имеет два возможных решения: 1) sin(x) = 0 2) sin(3x)sin(x) - (√3/2)cos(3x) - 2 = 0

Решение первого уравнения

Решим первое уравнение sin(x) = 0: x = 0, π, 2π, ...

Решение второго уравнения

Для решения второго уравнения sin(3x)sin(x) - (√3/2)cos(3x) - 2 = 0 нам потребуется использовать численные методы или графический метод. Это достаточно сложное уравнение, которое не может быть решено аналитически.

Резюме

Таким образом, мы рассмотрели подробное решение уравнения sin(3x - π/3) = sin(x). Оно включает использование тригонометрических тождеств и факторизацию уравнения. Однако, второе уравнение sin(3x)sin(x) - (√3/2)cos(3x) - 2 = 0 не может быть решено аналитически и требует численных методов или графического решения.