Question

Найдите точку максимума функции y=(x+5)^2(x-7)

Answer 1

найдем производную...

y' = ((x+5)^2)' * (x-7) + (x+5)^2 (x-7)' = 2(x+5)(x-7) + (x+5)^2 = (x+5)*(2x-14+x+5) = (x+5)(3x-9)

производная = 0 при х = -5 и х = 3 ---это точки экстремумов

при х < -5 производная > 0, при -5 < х < 3 производная < 0 => в этой точке максимум

(при -5 < х < 3 производная < 0, при х > 3 производная > 0 => в этой точке минимум)

у мах = у(-5) = 0

точка максимума функции (-5; 0)

 

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции y = (x+5)^2(x-7), нужно найти ее производную и найти значения x, при которых производная равна нулю.

Сначала найдем производную функции y по x, используя правило производной произведения и цепного правила:

y' = 2(x+5)(x-7) + (x+5)^2

Раскроем скобки:

y' = 2(x^2 - 7x + 5x - 35) + (x^2 + 10x + 25)

y' = 2x^2 - 14x + 10x - 70 + x^2 + 10x + 25

y' = 3x^2 - 4x - 45

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2 - 4x - 45 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение, но наиболее простой способ - это использовать квадратное уравнение:

x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4*3*(-45))) / (2*3)

x = (4 ± √(16 + 540)) / 6

x = (4 ± √556) / 6

x = (4 ± 2√139) / 6

x = (2 ± √139) / 3

Таким образом, у нас есть два значения x, при которых производная равна нулю: x = (2 + √139) / 3 и x = (2 - √139) / 3.

Чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения x в исходную функцию:

y = ((2 + √139) / 3 + 5)^2 * ((2 + √139) / 3 - 7) ≈ -41.37

y = ((2 - √139) / 3 + 5)^2 * ((2 - √139) / 3 - 7) ≈ -47.63

Таким образом, точки максимума функции y = (x+5)^2(x-7) находятся при x ≈ (2 + √139) / 3 и x ≈ (2 - √139) / 3, а соответствующие значения y примерно равны -41.37 и -47.63.