Question

Помогите пожалуйста: 1. 2sin^2x + 3cos^2x = 5sinx cosx 2. 2cos^2x + cosx = 1 3. 2cos^2 12x + 2 корень 2 cos 12x sin 12x + sin^2 12x = 0 4. 16sin x = cosx 5. cos^2x + 70sinx + 143 = 0 6. cos^2x + 23cosx = 24 7. cos^2x = 24cosx

Answer 1

2sin²x+3cos²x=5sinx*cosx |:cos²x
2tg²-5tgx+3=0
D=25-24=1
tgx=1.5; x1=arctg1.5+πn,n€Z
tgx=1; x2=-π/4+πn,n€Z

2) 2cos²x+cosx=1
2cos²x+cosx-1=0
пусть cosx=t(|t|≤1),имеем
2t²+t-1=0
t1=1/2; t2=-1
заменa
cosx=1/2 и cosx=-1
x1=±π/6+2πn; x2=2πn

3) 2cos²12x+2√2cos12xsin12x+sin²12x=0

tg²12x+2√2tgx+2=0
(tg12x+√2)=0
tg12x=-√2
x=-1/12arctg√2+πn/12

4)16sinx=cosx |:cosx
16tgx=1
tgx=1/16
x=arctg(1/16) + πn

далее аналогично, решать лень уже

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое уравнение.

1. \(2\sin^2x + 3\cos^2x = 5\sin x + \cos x + 2\)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону и приведем подобные:

\(2\sin^2x - 5\sin x + 3\cos^2x - \cos x - 2 = 0\)

После этого, можно попробовать разложить квадратные члены:

\(2\sin^2x - 5\sin x + 3\cos^2x - \cos x - 2 = 2\sin^2x - 4\sin x - \sin x + 3\cos^2x - \cos x - 2 = 2(\sin x - 1)(\sin x + 2) + (\cos x - 1)(3\cos x + 2) = 0\)

Теперь решим уравнение для \(\sin x\) и \(\cos x\):

\(\sin x - 1 = 0\) или \(\sin x + 2 = 0\)

Решения для \(\sin x\) - это \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) и \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\).

Для \(\cos x\): \(\cos x - 1 = 0\) или \(3\cos x + 2 = 0\)

Решения для \(\cos x\) - это \(x = 0 + 2\pi k\) и \(x = -\frac{2}{3}\pi + 2\pi k\).

2. \(2\cos^2x + \cos x = 1\)

Приведем уравнение к квадратному виду и решим:

\(2\cos^2x + \cos x - 1 = 0\)

Решения: \(\cos x = -1\) или \(\cos x = \frac{1}{2}\)

Для \(\cos x = -1\): \(x = \pi + 2\pi k\)

Для \(\cos x = \frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) или \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)

3. \(2\cos^2(12x) + 2\sqrt{2}\cos(12x)\sin(12x) + \sin^2(12x) = 0\)

Это уравнение имеет вид \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), что всегда верно. Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений, и любое значение \(x\) подходит.

4. \(16\sin x = \cos x\)

Решим уравнение, поделив обе стороны на \(\cos x\) (при условии \(\cos x \neq 0\)):

\(16\tan x = 1\)

\(\tan x = \frac{1}{16}\)

Решение: \(x = \arctan\left(\frac{1}{16}\right)\)

5. \( \cos^2x + 70\sin x + 143 = 0\)

Решим уравнение, используя подстановку \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\):

\( \cos^2x + 70\sqrt{1 - \cos^2x} + 143 = 0\)

Это уравнение может быть решено численно, например, с использованием метода Ньютона.

6. \( \cos^2x + 23\cos x = 24\)

Приведем уравнение к квадратному виду:

\( \cos^2x + 23\cos x - 24 = 0\)

Решения: \(\cos x = 1\) или \(\cos x = -24\)

Для \(\cos x = 1\): \(x = 2\pi k\)

Для \(\cos x = -24\): нет действительных решений.

7. \( \cos^2x = 24\cos x\)

Приведем уравнение к квадратному виду:

\( \cos^2x - 24\cos x = 0\)

Решения: \(\cos x = 0\) или \(\cos x = 24\)

Для \(\cos x = 0\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\)

Для \(\cos x = 24\): нет действительных решений.

Учтите, что решения могут повторяться из-за периодичности тригонометрических функций.