Question

Если в геометрической прогрессии со знаменателем |q|<1 сумма первых трех членов равна , а их произведение равно 125, то первый член этой прогрессии равен

Answer 1

$b1+b1*q+b1*q^2= -\frac{35}{3}$
$b1*b1q*b1q^2=125$
$b1^3*q^3=125 \\ b1*q=5$
$b1+5q= -\frac{50}{3}$
из 2 уравнения $q= \frac{5}{b1}$
$b1= -\frac{5}{3} \to b1=-15$
ответ:-15

Answer 2

Для решения этой задачи вам потребуется использовать формулы для суммы и произведения членов геометрической прогрессии. Давайте разберемся подробно.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда второй член будет равен aq, третий член - aq^2, и так далее.

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S = a + aq + aq^2

А произведение этих трех членов равно:

P = a * aq * aq^2

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

S = a + aq + aq^2 = 125 (уравнение для суммы) P = a * aq * aq^2 = 125 (уравнение для произведения)

Теперь давайте решим эти уравнения.

Решение уравнения для суммы:

S = 125

a + aq + aq^2 = 125

Сначала вынесем общий множитель a из каждого члена:

a(1 + q + q^2) = 125

Теперь поделим обе части уравнения на выражение в скобках:

a = 125 / (1 + q + q^2)

Решение уравнения для произведения:

P = 125

a * aq * aq^2 = 125

Выразим a^3 через P:

a^3 = 125 / (aq * aq^2)

a^3 = 125 / (a * a^2 * q)

a^3 = 125 / (a^3 * q)

Теперь сократим общий множитель a^3:

1 = 125 / (q * a^2)

q * a^2 = 125

Теперь выразим a^2 через q:

a^2 = 125 / q

Из выражения a = 125 / (1 + q + q^2), подставим a^2:

(125 / (1 + q + q^2))^2 = 125 / q

125^2 / (1 + q + q^2)^2 = 125 / q

125^2 * q = 125 * (1 + q + q^2)^2

125 * q = (1 + q + q^2)^2

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: q ≠ 0

Если q ≠ 0, то мы можем сократить обе части уравнения на q:

125 = (1 + q + q^2)^2

Теперь найдем квадратный корень от обеих частей уравнения:

√125 = 1 + q + q^2

5√5 = 1 + q + q^2

Случай 2: q = 0

Если q = 0, то первый член прогрессии будет равен 0.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии будет равен 0 или 5√5, в зависимости от значения знаменателя q.