Question

Докажите, что если натуральные числа а и б при делении на 4 дают в остатке 3, то их произведение аб при делении на 4 даёт в остатке 1

Answer 1

Можно представить а и b как

$a = 4m + 3\\ b = 4n + 3$

Перемножим
$ab = (4m+3)(4n+3) = 16mn + 12n+12m + 9 =\\ 4(4mn+3n+3m+2) +1$

Ну и все, получили что произведение выглядит как "четыре умножить на что-то и еще плюс один", в остатке при делении на 4 будет 1

Answer 2

Доказательство: если натуральные числа а и б при делении на 4 дают в остатке 3, то их произведение аб при делении на 4 даёт в остатке 1

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим два натуральных числа а и б, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Обозначим эти числа как а = 4к + 3 и б = 4м + 3, где к и м - некоторые натуральные числа.

Тогда произведение аб будет равно (4к + 3)(4м + 3). Раскроем скобки:

(4к + 3)(4м + 3) = 16км + 12к + 12м + 9

Заметим, что первое слагаемое 16км делится на 4 без остатка, так как 16 делится на 4. Остальные слагаемые 12к, 12м и 9 не влияют на остаток при делении на 4.

Таким образом, остаток от деления произведения аб на 4 будет равен остатку от деления числа 9 на 4, то есть 1.

Таким образом, мы доказали, что если натуральные числа а и б при делении на 4 дают в остатке 3, то их произведение аб при делении на 4 даёт в остатке 1.