Question

1-cos x = 2sin x * sin x/2 С решением пожалуйста.

Answer 1

Применим формулу синуса половинного угла слева и синуса двойного угла справа:
2sin²(x/2) = 2·2sin(x/2)cos(x/2)·sin(x/2)
2sin²(x/2) = 4sin²(x/2)cos(x/2)
2sin²(x/2) - 4sin²(x/2)cos(x/2) = 0
2sin²(x/2) ·(1 - 2cos(x/2)) = 0
sin²(x/2) = 0       или       1 - 2cos(x/2) = 0
x/2 = πn, n∈Z                  cos(x/2) = 1/2
x = 2πn, n∈Z                   x/2 = π/3 + 2πk, k∈Z или x/2 = - π/3 + 2πm, m∈Z
                                         x = 2π/3 + 4πk, k∈Z          x = - 2π/3 + 4πm, m∈Z

               2sin²(x/2)  -  4sin²(x/2)cos(x/2) = 0
               2sin²(x/2)  -  2·2sin²(x/2)cos(x/2) = 0
               _______         _______   это выносим

2sin²(x/2) · ( 1         -        2cos(x/2)) = 0

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Заметим, что в данном уравнении присутствуют функции cos(x) и sin(x), а также их комбинации. Для удобства, заменим sin(x/2) на t. Тогда уравнение примет вид:

1 - cos(x) = 2sin(x) * t

Выразим sin(x) через cos(x), используя известное тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))

Подставим это выражение в уравнение:

1 - cos(x) = 2 * sin(x) * t

1 - cos(x) = 2 * ±√(1 - cos^2(x)) * t

Теперь решим полученное уравнение относительно cos(x):

1 - cos(x) = 2 * ±√(1 - cos^2(x)) * t

1 - cos(x) = ±2 * √(1 - cos^2(x)) * t

(1 - cos(x))^2 = (±2 * √(1 - cos^2(x)) * t)^2

1 - 2cos(x) + cos^2(x) = 4(1 - cos^2(x)) * t^2

Упростим:

cos^2(x) - 2cos(x) + 1 = 4(1 - cos^2(x)) * t^2

cos^2(x) - 2cos(x) + 1 = 4t^2 - 4cos^2(x)t^2

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

5cos^2(x)t^2 - 2cos(x) - 4t^2 + 1 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно cos(x). Решим его, используя квадратное уравнение:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 5t^2, b = -2, c = -4t^2 + 1.

Подставим значения:

cos(x) = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 5t^2 * (-4t^2 + 1))) / (2 * 5t^2)

cos(x) = (2 ± √(4 + 80t^2(4t^2 - 1))) / (10t^2)

cos(x) = (2 ± √(320t^4 - 80t^2 + 4)) / (10t^2)

Теперь найдем значение sin(x) через полученное значение cos(x) и t:

sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))

sin(x) = ±√(1 - (2 ± √(320t^4 - 80t^2 + 4))^2 / (10t^2)^2)

Таким образом, мы получили общее решение уравнения 1 - cos(x) = 2sin(x) * sin(x/2). Оно выражено через параметры t и ±. Решение зависит от выбора значения t и знака ±. Для получения конкретного решения, необходимо задать значения t и определить знак ± в зависимости от контекста задачи или дополнительных условий.