Question

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin3x*cos5x-cos3x*sin5x=0,5

Answer 1

Sin(3x-5x)=0,5
-sin2x=0,5
sin2x=-0,5
2x=(-1)^n+1*π/6+πn⇒x=(-1)^n+1*π/12+πn/2

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[ \sin(3x)\cos(5x) - \cos(3x)\sin(5x) = 0.5 \]

Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся формулой для разности углов синуса:

\[ \sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) \]

Таким образом, наше уравнение можно переписать следующим образом:

\[ \sin(3x - 5x) = 0.5 \]

Это приводит к следующему уравнению:

\[ \sin(-2x) = 0.5 \]

Теперь мы ищем значения \(x\), для которых \(\sin(-2x) = 0.5\). Обратите внимание, что \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\). Таким образом, у нас есть:

\[ -\sin(2x) = 0.5 \]

Теперь найдем угол \(\theta\), для которого \(\sin(\theta) = -0.5\). Обычно такой угол можно найти, используя таблицы значений синуса или калькулятор. Однако, известно, что \(\sin(\pi/6) = 0.5\), поэтому:

\[ -\sin(2x) = -\sin(\pi/6) \]

Теперь мы можем записать уравнение для \(\pi/6\):

\[ 2x = \pi/6 + 2\pi n \]

где \(n\) - целое число (потому что синус периодичен). Теперь делим обе стороны на 2:

\[ x = (\pi/6 + 2\pi n)/2 \]

\[ x = \pi/12 + \pi n \]

Таким образом, корни уравнения \(\sin(3x)\cos(5x) - \cos(3x)\sin(5x) = 0.5\) равны:

\[ x = \pi/12 + \pi n \]

где \(n\) - целое число. Это даёт бесконечный набор корней для уравнения. Если вам нужен наибольший отрицательный корень, можно взять \(n = -1\):

\[ x = -\pi/12 \]