Question

Найдите наибольшее значение функции y = x^3 + 6x^2 +19 на отрезке [-6; - 2].

Answer 1

y' = 3x² + 12x
3x² + 12x =0
3x(x+4) = 0
x = 0  ∉ [-6;-2]   
x= -4  ∈ [-6;-2]
f(-6) = (-6)³ + 6*(-6)² + 19 = -216 + 216 +19=19
f (-4) = (-4)³ + 6*(-4)² + 19 = -64 + 96 + 19 = 51
f (-2) = (-2)³ + 6*(-2)² + 19 = -8 + 24 + 19 = 35
Ответ: наибольшее значение: 51

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^3 + 6x^2 + 19 на отрезке [-6; 2], мы можем использовать дифференциальное исчисление.

Нахождение экстремумов функции

Для начала найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Эти точки могут быть экстремумами функции.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 3x^2 + 12x. 2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения точек, в которых производная равна нулю: 3x^2 + 12x = 0. 3. Факторизуем это уравнение: 3x(x + 4) = 0. 4. Получаем два решения: x = 0 и x = -4.

Анализ экстремумов

Теперь проанализируем значения функции в найденных точках и на концах отрезка [-6; 2] для определения наибольшего значения функции.

1. Подставим найденные точки в функцию y = x^3 + 6x^2 + 19: - Для x = 0: y(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 19 = 19. - Для x = -4: y(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 19 = -9.

2. Подставим концы отрезка в функцию: - Для x = -6: y(-6) = (-6)^3 + 6(-6)^2 + 19 = -79. - Для x = 2: y(2) = 2^3 + 6(2)^2 + 19 = 47.

Ответ

Таким образом, наибольшее значение функции y = x^3 + 6x^2 + 19 на отрезке [-6; 2] равно 47 и достигается при x = 2.