Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(X)=x+9/x

Answer 1

f(x)=x+9/x.

f'{x)=1-9/x^2,

f'(x)=0, 1-9/x^2=0, 9/x^2=1, x^2=9, x_1=-3, x_2=3,

x<-3, f'(x)>0, f(x) - возрастает,

-3<x<3, f'(x)<0, f(x) - убывает,

x>3, f'(x)>0, f(x) -возрастает.

Answer 2

1)f(x)=x+9/x.

2)f'{x)=1-9/x^2,

3)f'(x)=0,

1-9/x^2=0,

9/x^2=1,

x^2=9,

x_1=-3,

x_2=3,

по схеме знаков следует,что

x<-3, f'(x)>0, f(x) - возрастает,

-3<x<3, f'(x)<0, f(x) - убывает,

x>3, f'(x)>0, f(x) -возрастает.

Answer 3

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = \frac{x+9}{x} \), нужно определить её производную и решить неравенство, полученное из неё.

1. Нахождение производной: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x+9}{x}\right) \]

Для вычисления производной используем правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(x \cdot 1 - (x+9) \cdot 1)}{x^2} \] \[ f'(x) = \frac{-9}{x^2} \]

2. Нахождение критических точек: Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. \[ \frac{-9}{x^2} = 0 \]

Решение этого уравнения - \( x = 0 \).

3. Определение знаков производной: Теперь нам нужно определить, когда производная положительна, а когда отрицательна.

- Производная положительна: \( f'(x) > 0 \) \[ \frac{-9}{x^2} > 0 \] Это выполняется, когда \( x \) принимает значения отрицательные или положительные, исключая 0.

- Производная отрицательна: \( f'(x) < 0 \) \[ \frac{-9}{x^2} < 0 \] Это выполняется, когда \( x \) равно 0.

4. Определение промежутков возрастания и убывания:

- Промежутки возрастания: В этих интервалах \( f'(x) > 0 \). Из пункта 3 следует, что это происходит, когда \( x \) отрицательно или положительно, исключая 0. Таким образом, промежутки возрастания - \( x \in (-\infty, 0) \) и \( x \in (0, +\infty) \).

- Промежутки убывания: В этих интервалах \( f'(x) < 0 \). Из пункта 3 следует, что это происходит только при \( x = 0 \). Таким образом, промежуток убывания - \( x = 0 \).

Таким образом, функция \( f(x) = \frac{x+9}{x} \) возрастает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \) и убывает при \( x = 0 \).