Question

Решить неравенство: 1) 1/3х(х+1) ≤ (х-1)² 2)1/3х - 4/9 ≥ х(х-1) 3)2х-2,5 > х(х-1)

Answer 1

1) 1/3х(х+1) ≤ (х-1)²
1/3*x(x+1)-(x-1)(x+1)≤0
(x-1)*(1/3*x-x-1)≤0
(x-1)(2/3*x+1)≥0
x=1  x=-1,5
x∈(-∞;-1,5] U [1;∞)

2)1/3х - 4/9 ≥ х(х-1)
x²-x-1/3*x+4/9≤0
x²-4/3*x+4/9≤0
9x²-12x+4≤0
(3x-2)²≤0
3x=2
x=2/3

3)2х-2,5 > х(х-1)
x²-x-2x+2,5<0
x²-3x+2,5<0
D=9-10=-1<0
нет решения

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое неравенство по очереди и найдем его решение.

1) Неравенство: 1/3x(x+1) ≤ (x-1)²

Для начала, раскроем скобки в обоих частях неравенства: 1/3x² + 1/3x ≤ x² - 2x + 1

Теперь приведем все слагаемые к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение: 1/3x² + 1/3x - x² + 2x - 1 ≤ 0

Упростим выражение: -2/3x² + 7/3x - 1 ≤ 0

Чтобы найти решение этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Давайте найдем значения x, при которых левая часть неравенства равна нулю:

-2/3x² + 7/3x - 1 = 0

Для удобства, умножим обе части уравнения на -3: 2x² - 7x + 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: (x - 1)(2x - 3) = 0

Из этого уравнения получаем два значения x: x = 1 и x = 3/2.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для интервалов между и за пределами этих значений:

x < 1 1 < x < 3/2 x > 3/2 -2/3x² + 7/3x - 1 - + -

Итак, решение неравенства 1/3x(x+1) ≤ (x-1)² - это интервал x ∈ [1, 3/2].

2) Неравенство: 1/3x - 4/9 ≥ x(x-1)

Раскроем скобки и упростим: 1/3x - 4/9 ≥ x² - x

Приведем все слагаемые к одной стороне: 1/3x - x² + x - 4/9 ≥ 0

Упростим выражение: -x² + 4/3x - 4/9 ≥ 0

Чтобы найти решение этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Давайте найдем значения x, при которых левая часть неравенства равна нулю:

-x² + 4/3x - 4/9 = 0

Умножим обе части уравнения на -9: 9x² - 12x + 4 = 0

Решим квадратное уравнение: (3x - 2)(3x - 2) = 0

Из этого уравнения получаем одно значение x: x = 2/3.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для интервалов между и за пределами этого значения:

x < 2/3 x > 2/3 -x² + 4/3x - 4/9 + -

Итак, решение неравенства 1/3x - 4/9 ≥ x(x-1) - это интервал x ∈ (-∞, 2/3] ∪ {2/3}.

3) Неравенство: 2x - 2.5 > x(x-1)

Раскроем скобки и упростим: 2x - 2.5 > x² - x

Приведем все слагаемые к одной стороне: x² - 3x + 2.5 < 0

Это квадратное уравнение имеет два корня, но нам интересен только интервал, в котором оно отрицательное. Корни этого уравнения находятся при помощи квадратного корня.