Question

Докажите, что последовательность,заданная формулой общего члена Xn = 3n - 1/5n + 2, является возрастсющей

Answer 1

"Последовательность возрастающая" равносильно тому, что разность между n-ным и (n-1)-ым членами больше нуля:
$x_{n-1}=3(n-1)-\frac{1}{5(n-1)}+2\\x_n=3n-\frac{1}{5n}+2\\ x_n-x_{n-1}=3+\frac{1}{5(n-1)}-\frac{1}{5n}=3+\frac{n-(n-1)}{5n(n-1)}=3+\frac{1}{5n(n-1)}>0$ 
для всех n

Answer 2

Для доказательства возрастания последовательности Xn = (3n - 1)/(5n + 2), необходимо показать, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего.

Пусть k - некоторое натуральное число. Тогда k-ый член последовательности можно записать как Xk = (3k - 1)/(5k + 2).

Рассмотрим (k+1)-ый член последовательности Xk+1 = (3(k+1) - 1)/(5(k+1) + 2).

Для того чтобы доказать возрастание последовательности, нужно показать, что Xk+1 > Xk.

Выполним необходимые вычисления:

Xk+1 - Xk = [(3(k+1) - 1)/(5(k+1) + 2)] - [(3k - 1)/(5k + 2)] = [(3k + 2)/(5k + 7)] - [(3k - 1)/(5k + 2)] = [(3k + 2)(5k + 2) - (3k - 1)(5k + 7)]/[(5k + 7)(5k + 2)]

Раскроем скобки и упростим выражение:

= (15k^2 + 6k + 10k + 4 - 15k^2 - 21k - 10 + 5k + 7)/[(5k + 7)(5k + 2)] = (11k + 1)/[(5k + 7)(5k + 2)]

Заметим, что числитель данного выражения всегда положительный, так как 11k + 1 > 0 для всех натуральных k.

Знаменатель также всегда положителен, так как (5k + 7) > 0 и (5k + 2) > 0 для всех натуральных k.

Таким образом, (11k + 1)/[(5k + 7)(5k + 2)] > 0 для всех натуральных k.

Это значит, что Xk+1 > Xk для всех натуральных k.

Таким образом, последовательность Xn = (3n - 1)/(5n + 2) является возрастающей.