Question

При каких значениях параметра а уравнения 2х+а^2-4=0 и 2x^2+ (a^2-4)x +a= 0 будут иметь общий корень? Найдите этот корень.

Answer 1

Второе уравнение преобразуется в x·(a²+2x-4)+a=0.
Поскольку, согласно первому уравнению, a²+2x-4=0, получаем a=0.
2x-4=0, x=2

Answer 2

Для того чтобы уравнения \(2x(a^2-4)=0\) и \(2x^2+(a^2-4)x+a=0\) имели общий корень, их дискриминанты должны быть равны нулю, так как это условие для существования общего корня у квадратных уравнений.

1. Для уравнения \(2x(a^2-4)=0\) нет необходимости искать дискриминант, так как оно уже разложено на множители \(2x(a+2)(a-2)=0\), что дает нам корни \(x=0, a=-2, a=2\).

2. Для уравнения \(2x^2+(a^2-4)x+a=0\) найдем дискриминант (\(D\)):

Уравнение квадратное вида \(ax^2+bx+c=0\) имеет дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае: \(a = 2\), \(b = (a^2-4)\), \(c = a\).

Подставляем значения:

\[D = (a^2-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a\] \[D = a^4 - 8a^2 + 16 - 8a\]

Теперь, чтобы эти уравнения имели общий корень, их дискриминанты должны быть равными нулю:

\[0 = D = a^4 - 8a^2 + 16 - 8a\]

Это уравнение может быть решено для \(a\), чтобы найти значения параметра \(a\), при которых уравнения имеют общий корень. Давай попробуем решить его.

\[a^4 - 8a^2 + 16 - 8a = 0\]

Это уравнение четвертой степени. Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать метод подстановки или численных методов, чтобы найти корни.

Однако, чтобы упростить задачу, давайте воспользуемся уже найденными корнями уравнения \(2x(a^2-4)=0\) (корнями \(a=-2, a=2\)) и проверим, удовлетворяют ли они уравнению для дискриминанта \(D\):

При \(a = -2\): \[(-2)^4 - 8(-2)^2 + 16 - 8(-2) = 16 - 32 + 16 + 16 = 16 - 16 + 16 + 16 = 32 \neq 0\]

При \(a = 2\): \[2^4 - 8 \cdot 2^2 + 16 - 8 \cdot 2 = 16 - 32 + 16 - 16 = 0\]

Таким образом, корнем, при котором оба уравнения имеют общий корень, является \(a = 2\).