Question

Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления y=1/3x^3-x^2-3x+5

Answer 1

x^2+2x+2>0  D<0 при любых x функция определена

нули функции x=0 y=ln2

ln(x^2+2x+2)=0  x^2+2x+2=1  x^2+2x+1=0 (x+1)^2=0

x=-1 у=0

y'=(2x+2)/(x^2+2x+2)

x=-1 -критическая точка, при переходе производная меняет

знак с - на +, в точке имеется минимум

функция положительна на всей области определения

x^2+2x+2<1 (x+1)^2<0, что не возможно.

Answer 2

Дана функция y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + 5. Чтобы исследовать данную функцию с помощью методов дифференциального исчисления, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

Для начала, найдем производную функции y по переменной x. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Для функции y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + 5, производная будет:

y' = d/dx[(1/3)x^3 - x^2 - 3x + 5]

Применяя правила дифференцирования, найдем производную:

y' = (1/3)(3x^2) - 2x - 3

Упрощая выражение, получаем:

y' = x^2 - 2x - 3

2. Найти точки экстремума:

Точки экстремума функции являются точками, где производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти точки экстремума для функции y, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

x^2 - 2x - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. Факторизируя, мы получаем:

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = 3 и x = -1.

3. Найти интервалы возрастания и убывания:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы можем использовать производную. Анализируя знак производной, мы можем определить, когда функция возрастает или убывает.

Анализируя производную y' = x^2 - 2x - 3, мы можем найти интервалы возрастания и убывания функции:

- Когда y' > 0, функция возрастает. - Когда y' < 0, функция убывает.

Для этого мы можем построить таблицу знаков:

x     |   -∞   |   -1   |   3   |   +∞
y'    |   -    |   +    |   -   |   +

Из этой таблицы знаков мы можем сделать следующие выводы:

- Функция y возрастает на интервале (-∞, -1). - Функция y убывает на интервале (-1, 3). - Функция y возрастает на интервале (3, +∞).

4. Найти точки перегиба:

Точки перегиба функции являются точками, где вторая производная функции равна нулю или не существует. Для нашей функции, чтобы найти точки перегиба, мы должны найти вторую производную.

Для этого возьмем производную от производной функции y':

y'' = d/dx[x^2 - 2x - 3]

Применяя правила дифференцирования, мы получаем:

y'' = 2x - 2

Теперь мы можем приравнять вторую производную к нулю и решить уравнение:

2x - 2 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

x = 1

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба: x = 1.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости:

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, мы можем использовать вторую производную. Анализируя знак второй производной, мы можем определить, где функция выпукла или вогнута.

Анализируя вторую производную y'' = 2x - 2, мы можем найти интервалы выпуклости и вогнутости функции:

- Когда y'' > 0, функция выпукла (вогнута вверх). - Когда y'' < 0, функция вогнута (выпукла вверх).

Для этого мы можем построить таблицу знаков:

x     |   -∞   |   1   |   +∞
y''   |   -    |   +   |   +

Из этой таблицы знаков мы можем сделать следующие выводы:

- Функция y вогнута на интервале (-∞, 1). - Функция y выпукла на интервале (1, +∞).

6. Найти асимптоты:

Чтобы найти асимптоты функции, мы можем анализировать поведение функции на бесконечности и приближаться к некоторым значениям.

- Горизонтальная асимптота: Поскольку функция не содержит членов, которые могут стремиться к бесконечности, у нее нет горизонтальной асимптоты. - Вертикальная асимптота: Чтобы найти вертикальную асимптоту, мы должны рассмотреть значения x, при которых знаменатель функции равен нулю. В нашем случае, функция не содержит знаменателя, поэтому нет вертикальной асимптоты.

7. Найти точки пересечения с осями:

Для нахождения точек пересечения с осями, мы можем приравнять функцию к нулю и решить уравнение:

y = 0

(1/3)x^3 - x^2 - 3x + 5 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя различные методы, такие как факторизация, использование графика или численные методы. Решая уравнение, мы найдем точки пересечения функции с осями x и y.

Это подробное исследование функции y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + 5 с использованием методов дифференциального исчисления. Надеюсь, это помогло вам лучше понять данную функцию и ее свойства. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!