Question

Найти наименьшее значение выражения (b^4-b^2+1)/(b^2+1)

Answer 1

Легко видеть (просто раскрыв скобки), что
$\frac{b^4-b^2+1}{b^2+1}=\sqrt{3}\left(\frac{b^2+1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{b^2+1}\right)-3=\sqrt{3}(t+\frac{1}{t})-3,$
где $t=(b^2+1)/\sqrt{3}.$ Т.к. для любого t>0 верно неравенство t+1/t≥2, то наименьшее значение исходного выражения равно 2√3-3. Достигается оно при t=1, т.е при $b=\pm\sqrt{\sqrt{3}-1}.$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения (b^4 - b^2 + 1) / (b^2 + 1), необходимо найти точку минимума этой функции.

Для начала, заметим, что знаменатель выражения, b^2 + 1, всегда положительный, так как квадрат любого числа неотрицателен, а прибавление 1 к неотрицательному числу дает положительное число. Значит, чтобы минимизировать выражение, нам нужно минимизировать числитель, b^4 - b^2 + 1.

Для этого, мы можем рассмотреть данное выражение как квадратное уравнение относительно b^2. Пусть x = b^2, тогда выражение примет вид x^2 - x + 1. Мы хотим найти минимум этого квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет минимум, когда его дискриминант равен нулю. Дискриминант D равен (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3, что меньше нуля. Это означает, что квадратное уравнение не имеет реальных корней, а значит, его минимума не существует.

Таким образом, выражение (b^4 - b^2 + 1) / (b^2 + 1) не имеет наименьшего значения. Оно может принимать любые значения в зависимости от значения переменной b.