Question

При каких значениях a функция f(x)=2x^3-3(2+a) x^2++48ax+6x-13 возрастает на области определения?

Answer 1

Если производная положительна на отрезке, то функция возрастает на отрезке.
Найдем у`
y`=6x²-6(2+a)x+48a+6
Решаем неравенство
6x²-6(2+a)x+48a+6>0    Разделим неравенство на 6
х²-(2+a)x+8a+1>0
Чтобы данное квадратное неравенство выполнялось при всех х, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным.
D=(2+a)²-4·(8a+1)=4+4a+a²-32a-4=a²-28a=a(a-28)<0    ⇒    0<a<28
Ответ. а∈(0;28)

Answer 2

Чтобы определить интервалы возрастания функции \(f(x) = 2x^3 - 3(2+a)x^2 + 48ax + 6x - 13\), нужно проанализировать её производную.

1. Найдем производную функции \(f(x)\): \[ f'(x) = 6x^2 - 6(2+a)x + 48a + 6 \]

2. Теперь решим уравнение \(f'(x) = 0\) для определения критических точек (точек, в которых производная равна нулю или не существует): \[ 6x^2 - 6(2+a)x + 48a + 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Решив его, мы получим значения \(x\), в которых производная равна нулю.

3. После того как найдены критические точки, мы можем использовать тест знаков для определения интервалов возрастания. Для этого выбираем произвольные значения \(x\) в каждом из полученных интервалов и подставляем их в производную \(f'(x)\). Если \(f'(x) > 0\), то функция возрастает; если \(f'(x) < 0\), то функция убывает.

Давайте рассмотрим промежуточные шаги:

1. Найдем производную: \[ f'(x) = 6x^2 - 6(2+a)x + 48a + 6 \]

2. Решим уравнение \(f'(x) = 0\): \[ 6x^2 - 6(2+a)x + 48a + 6 = 0 \]

Это уравнение можно решить с помощью квадратного трёхчлена, но решение будет зависеть от конкретного значения параметра \(a\). Если уточните значение \(a\), я смогу предоставить более конкретный ответ. В противном случае, я могу предоставить общий алгоритм для нахождения интервалов возрастания, описанного в пункте 3.