Question

На стороне ВС треугольника АВС отметили точку М и К ( точка М лежит между точками В и К) так, что угол КАС= углу В, угол ВАМ = углу С. Докажите, что треугольник МАК- равнобедренный.

Answer 1

Т.к. угол КАС= углу В и угол ВАМ = углу С,  угол МКА (внешний для треугольника АКС) равен сумме (угол КАС + угол С) и угол АМК( внешний для треугольника ВАМ) равен сумме (угол В + угол ВАМ) эти суммы равны(как суммы равных углов) значит и углы АМК и МКА равны . Из этого следует что треугольник МАК равнобедренный 

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника МАК, нужно показать, что его боковые стороны равны. Из условия задачи у нас есть следующие равенства углов: ∠КАС = ∠В и ∠ВАМ = ∠С.

Так как углы ∠ВАМ и ∠С равны, то треугольники АМВ и АСМ подобны по признаку угловой биссектрисы. Из подобия треугольников АМВ и АСМ следует, что отношение длин сторон треугольников равно отношению синусов соответствующих углов:

АМ/АС = ВМ/СМ

Также, у нас есть равенство углов ∠КАС = ∠В, из которого следует, что ∠АКМ = ∠СМВ. Поэтому, синусы этих углов также равны:

sin(∠АКМ) = sin(∠СМВ)

Тогда, из равенства синусов следует равенство отношений длин сторон:

АК/СМ = МК/МВ

Из равенства отношений сторон АК/СМ и МК/МВ следует, что отношение АМ/АС равно отношению АК/СМ:

АМ/АС = АК/СМ

Таким образом, мы получили, что отношение длин сторон треугольника АМВ равно отношению длин сторон треугольника АКМ. Так как отношение длин сторон треугольников равно, то треугольник МАК является равнобедренным, а именно сторона АК равна стороне АМ. Таким образом, треугольник МАК является равнобедренным.