Question

1. Найдите значения тригонометрических функций угла а если известно что tga=8/15 и П < a< 3П/2

Answer 1

известно, что $tga=\frac{sina}{cosa}$ поскольку $a \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$, то тогда $sina \neq 0 \\ cosa \neq 0$

Теперь начнем решать:

$tga=\frac{8}{15} \\ \frac{sina}{cosa}=\frac{8}{15} \\ \\ sina=\frac{8}{15}cosa$

Известно так же, что $cos^2a=1-sin^2a \\ cosa=^+_{-}\sqrt{1-sin^2a}$ 

Подставляем и получаем:

$sina=^+_{-}\frac{8}{15}\sqrt{1-sin^2a}$ 

Возводим все в квадрат и получаем:

$sin^2a=\frac{64}{225}(1-sin^2a) /\cdot 225 \\ 225sin^2a+64sin^a=64 \\ 289sin^2a=64 \\ sin^2a=\frac{64}{289} \\ sina=^+_-\sqrt{\frac{64}{289}} \\ sina=^+_-\frac{8}{17}$ 

Т.к    $a \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$, то получаем, что sina <0, значит нам подходит только отрицательное решение, а именно:

$sina=-\frac{8}{17}$ 

Теперь подставим в исходное уравнение вместо синуса это значение и найдем косинус. В итоге получится:

$\frac{-\frac{8}{17}}{cosa}=\frac{8}{15} \\ \\ -\frac{8}{17cosa}=\frac{8}{15} /\cdot \frac{17}{8}cosa \\ \\ -1=\frac{8}{15}\cdot \frac{17}{8}cosa \\ \\ -1=\frac{17}{15}cosa \\ cosa=-\frac{15}{17}$ 

Теперь найдем значение для котангенса:

По формуле:

$ctga=\frac{cosa}{sina}=\frac{1}{tga} \\tga=\frac{8}{15} \\ctga=\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}$

Ответ: 

$sina=-\frac{8}{17}$

$cosa=-\frac{15}{17}$ 

$tga=\frac{8}{15}$ 

$ctga=\frac{15}{8}$ 

Answer 2

Я могу помочь вам найти значения тригонометрических функций угла а, если известно, что tg a = 8/15 и П < a < 3П/2. Вот подробный ответ:

- По определению, tg a = sin a / cos a = 8/15, откуда можно выразить sin a и cos a через одну переменную: sin a = 8 * cos a / 15. (1) - Так как П < a < 3П/2, то угол a находится в третьей четверти координатной плоскости, где синус и косинус имеют отрицательные значения, а котангенс имеет положительное значение. - Из основного тригонометрического тождества sin² a + cos² a = 1 можно выразить sin a через cos a и подставить в выражение (1), получив уравнение: -√(1 - cos² a) = 8 * cos a / 15, откуда: cos² a = -15/17. - Вычислим теперь синус угла: sin a = -8/17. Котангенс обратен тангенсу, поэтому: ctg a = 1 / tg a = 15/8. - Ответ: sin a = -8/17, cos a = -15/17, ctg a = 15/8.

Вы можете также посмотреть другие источники, которые объясняют решение этой задачи, например: [ответ на Uchi.ru](https://uchi.ru/otvety/questions/1-naydite-znacheniya-trigonometricheskih-funktsiy-ugla-a-esli-izvestno-chto-tga-8-15-i-p), [ответы Mail.ru](https://otvet.mail.ru/question/183806395), [тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках](https://ru.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles/intro-to-the-trig-ratios/v/basic-trigonometry-ii), [синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла](https://eior.by/upload/books/9-klass/geometry/geometry_4.pdf). Надеюсь, это было полезно для вас.