Question

Докажите, что выражение 2х^2+у^2-2ху+4х-4у+5 принимает лишь положительны значения при любых значениях входящих в него

Answer 1

$2x^2+y^2-2xy+4x+4y+5=a \\ 2x^2+x(-2y+4)+y^2+4y+5-a=0 \\ D_1=y^2-4y+4-2y^2-8y-10+2a \geq 0 \\ -y^2-6y-6+2a \geq 0 \\ 2a \geq +y^2+6y+6 \\ 2a-3 \geq (y+3)^2 \\ a \geq \frac{ (y+3)^2+3}{2} >0 =>a>0$

Answer 2

Постановка задачи

Мы должны доказать, что выражение 2х^2 + у^2 - 2ху + 4х - 4у + 5 принимает только положительные значения при любых значениях, входящих в него.

Решение

Для доказательства этого утверждения, нам нужно показать, что данное выражение всегда больше нуля, независимо от значений переменных х и у.

Давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности:

1. 2х^2: Это квадратичное слагаемое, и так как коэффициент перед ним положительный (2), оно всегда будет положительным или равным нулю. 2. у^2: Аналогично, это квадратичное слагаемое, и так как коэффициент перед ним положительный (1), оно также всегда будет положительным или равным нулю. 3. -2ху: Это слагаемое содержит произведение двух переменных х и у с отрицательным коэффициентом (-2). Так как это произведение, его знак будет зависеть от знаков переменных х и у. Однако, независимо от знаков переменных, это слагаемое не может полностью компенсировать положительные слагаемые 2х^2 и у^2, поэтому оно не может сделать всё выражение отрицательным. 4. 4х: Это линейное слагаемое с положительным коэффициентом (4). Оно всегда будет положительным или равным нулю. 5. -4у: Это линейное слагаемое с отрицательным коэффициентом (-4). Оно может сделать выражение отрицательным, если значение переменной у будет достаточно большим, но в сочетании с другими слагаемыми оно не может полностью компенсировать положительные слагаемые 2х^2, у^2 и 4х. 6. 5: Это константа, которая всегда положительна.

Таким образом, мы видим, что ни одно из слагаемых не может сделать всё выражение отрицательным. Поэтому, выражение 2х^2 + у^2 - 2ху + 4х - 4у + 5 принимает только положительные значения при любых значениях переменных х и у.

Заключение

Мы доказали, что выражение 2х^2 + у^2 - 2ху + 4х - 4у + 5 принимает только положительные значения при любых значениях переменных х и у.