Question

Решите уравнение: -5sin 2x - 16(sinx-cosx) + 8 = 0

Answer 1

$-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8=0\\-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8\cdot 1=0\\-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8(1-\sin2x+\sin2x)=0\\8(\sin x-\cos x)^2-16(\sin x-\cos x)+3\sin2x=0$

Пусть $\sin x-\cos x=t$ при этом $|t|\leq \sqrt{2}$, тогда, возведя в квадрат обе части равенства, получим $1-\sin 2x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin2x=1-t^2$

$8t^2-16t+3(1-t^2)=0\\8t^2-16t+3-3t^2=0\\5t^2-16t+3=0\\D=(-16)^2-4\cdot5\cdot 3=196$

$t_1=\dfrac{16+14}{10}=3$ не удовлетворяет условию при |t|≤√2

$t_2=\dfrac{16-14}{10}=\dfrac{1}{5}$

Возвращаемся к обратной замене

$\sin x-\cos x=\dfrac{1}{5}\\\sqrt{2}\sin\bigg(x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)=\dfrac{1}{5}\\\\\boxed{x=(-1)^k\cdot \arcsin\dfrac{1}{5\sqrt{2}}+\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in\mathbb{Z}}$

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое мы должны решить: -5sin(2x) - 16(sin(x) - cos(x)) + 8 = 0

1. Упростить уравнение

Для начала раскроем скобки: -5sin(2x) - 16sin(x) + 16cos(x) + 8 = 0

2. Заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x)

Мы можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x), используя тригонометрическую формулу: -10sin(x)cos(x) - 16sin(x) + 16cos(x) + 8 = 0

3. Сгруппировать члены с sin(x) и cos(x)

-10sin(x)cos(x) - 16sin(x) + 16cos(x) = -8

4. Перенести все члены на одну сторону уравнения

-10sin(x)cos(x) - 16sin(x) + 16cos(x) + 8 = 0

5. Разбить уравнение на два уравнения

Мы можем разбить уравнение на два уравнения, чтобы решить его по отдельности: -10sin(x)cos(x) - 16sin(x) + 16cos(x) = -8

И

8 = 0

6. Решить первое уравнение

Рассмотрим первое уравнение: -10sin(x)cos(x) - 16sin(x) + 16cos(x) = -8

Мы можем применить тригонометрическую формулу sin(A-B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B), чтобы упростить это уравнение: -10sin(x)cos(x) - 16sin(x) + 16cos(x) = -8

Умножим каждый член на 2, чтобы избавиться от коэффициента -10: -20sin(x)cos(x) - 32sin(x) + 32cos(x) = -16

Теперь мы можем сгруппировать члены: -20sin(x)cos(x) - 32sin(x) + 32cos(x) + 16 = 0

Мы можем применить тригонометрическую формулу sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), чтобы снова упростить это уравнение: -20sin(x)cos(x) - 32sin(x) + 32cos(x) + 16 = 0

Теперь мы можем разбить это уравнение на два уравнения: -20sin(x)cos(x) + 32cos(x) = -16

И

-32sin(x) + 16 = 0

Найдем решение каждого уравнения по отдельности.

7. Решить первое уравнение

Рассмотрим уравнение -20sin(x)cos(x) +