Question

Sin^4a+cos^4a-sin^6a-cos^6a=sin^2a cos^2a докажите тождество

Answer 1

$sin^4(a)+cos^4(a)-sin^6(a)-cos^6(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\(1-sin^2(a))sin^4(a)+cos^4(a)-cos^6(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\cos^2(a)+sin^2(a)=1--\ \textgreater \ 1-sin^2(a)=cos^2(a)\\cos^2(a)sin^4(a)+cos^4(a)-cos^6(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\(sin^4(a)+cos^2(a)-cos^4(a))cos^2(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\((sin^2(a)-cos^2(a))(sin^2(a)+cos^2(a))+cos^2(a))cos^2(a)=\\=sin^2(a)cos^2(a)\\(-(cos^2(a)-sin^2(a))+cos^2(a))cos^2(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\(-cos(2a)+cos^2(a))cos^2(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)$
$(-(cos^2(a)-sin^2(a))+cos^2(a))cos^2(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\\\(-cos^2(a)+sin^2(a)+cos^2(a))cos^2(a)=sin^2(a)cos^2(a)\\sin^2(a)cos^2(a)=sin^2(a)cos^2(a)$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества, такие как:

Тождество Пифагора: sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Тождество двойного угла: sin^2(a) = (1 - cos(2a))/2 и cos^2(a) = (1 + cos(2a))/2

Давайте применим эти тождества к каждому члену уравнения:

sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a) = sin^2(a) + cos^2(a)

Заменим sin^2(a) и cos^2(a) в левой части уравнения с использованием тождества Пифагора:

((1 - cos(2a))/2)^2 + ((1 + cos(2a))/2)^2 - sin^6(a) - cos^6(a) = 1

Распишем квадраты и сократим подобные члены:

(1 - 2cos(2a) + cos^2(2a))/4 + (1 + 2cos(2a) + cos^2(2a))/4 - sin^6(a) - cos^6(a) = 1

Упростим выражение:

(2 + 2cos^2(2a) - sin^6(a) - cos^6(a))/4 = 1

Домножим обе части уравнения на 4:

2 + 2cos^2(2a) - sin^6(a) - cos^6(a) = 4

Теперь упростим выражение дальше:

2cos^2(2a) - sin^6(a) - cos^6(a) = 2

Применим тождество двойного угла к cos^2(2a):

cos^2(2a) = (1 + cos(4a))/2

Подставим это выражение в уравнение:

2(1 + cos(4a))/2 - sin^6(a) - cos^6(a) = 2

Упростим:

1 + cos(4a) - sin^6(a) - cos^6(a) = 2

Теперь применим тождество Пифагора:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

sin^6(a) = (1 - cos^2(a))^3

cos^6(a) = cos^2(a)^3

Подставим эти выражения в уравнение:

1 + cos(4a) - (1 - cos^2(a))^3 - cos^2(a)^3 = 2

Раскроем скобки:

1 + cos(4a) - (1 - 3cos^2(a) + 3cos^4(a) - cos^6(a)) - cos^2(a)^3 = 2

Упростим выражение:

1 + cos(4a) - 1 + 3cos^2(a) - 3cos^4(a) + cos^6(a) - cos^2(a)^3 = 2

Сократим подобные члены:

cos(4a) - 3cos^4(a) + cos^6(a) - cos^2(a)^3 = 2

Теперь упростим выражение:

cos(4a) - 3cos^4(a) + cos^6(a) - cos^6(a) + 3cos^2(a) - cos^2(a)^3 = 2

Сократим подобные члены ещё раз:

cos(4a) + 3cos^2(a) - cos^2(a)^3 = 2

Теперь применим тождество двойного угла:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

cos(4a) = 2cos^2(2a) - 1 = 2(2cos^2(a) - 1)^2 - 1

Подставим это выражение в уравнение:

2(2cos^2(a) - 1)^2 - 1 + 3cos^2(a) - cos^2(a)^3 = 2

Раскроем скобки и упростим выражение:

8cos^4(a) - 8cos^2(a) + 2 + 3cos^2(a) - cos^2(a)^3 = 2

Упростим еще раз:

8cos^4(a) - 5cos^2(a) - cos^2(a)^3 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos^2(a). Решим его, используя подстановку u = cos^2(a):

8u^2 - 5u - u^3 = 0

Разложим это уравнение на множители:

u(8u - 5 - u^2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

u = 0

8u - 5 - u^2 = 0

Рассмотрим первый случай, когда u = 0:

cos^2(a) = 0

Это означает, что cos(a) = 0, что соответствует значениям a = π/2 + kπ, где k - целое число.

Рассмотрим второй случай, когда 8u - 5 - u^2 = 0:

8cos^2(a) - 5 - cos^2(a)^2 = 0

Подставим v = cos^2(a):

8v - 5 - v^2 = 0

Разложим это уравнение на множители:

(v - 1)(v + 5) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

v - 1 = 0, что означает v = 1

или

v + 5 = 0, что означает v = -5

Подставим обратно v = cos^2(a):

cos^2(a) = 1

cos^2(a) = -5

Так как cos^2(a) не может быть отрицательным числом, мы отбрасываем второе решение.

Итак, мы получаем два решения:

1) a = π/2 + kπ, где k - целое число. 2) a = 0

Таким образом, мы доказали, что уравнение sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a) = sin^2(a) + cos^2(a) имеет два решения: a = π/2 + kπ и a = 0.