Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=4-x^2, y=2+x. помогите пожалуйста.напишите развернутый ответ

Answer 1

Найдём точки пересечения: $y=4-x^{2}=2+x; \ \ x^{2}+x-2=0; \ \ \ x_{1}=-2; \ x_{2}=1$

Вычисляем площадь: $S=\int\limits^1_{-2}{((4-x^{2})-(2+x))} \, dx=\int\limits^1_{-2} {(2-x-x^{2})} \, dx= \\=\left.{ (2x-\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}}})\right|_{-2}^{1}=(2- \frac{1}{2} - \frac{1}{3})-(-4-2+ \frac{8}{3} )=8- \frac{1}{2}-3=\frac{9}{2}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций по оси x в пределах этих точек.

Найдем точки пересечения кривых y=4-x^2 и y=2+x: 4-x^2 = 2+x x^2 + x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение: (x+2)(x-1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения x=-2 и x=1.

Теперь мы можем выразить эти кривые в виде функций y(x) и найти разность функций: y1(x) = 4 - x^2 y2(x) = 2 + x

Разность функций: y(x) = y1(x) - y2(x) = (4 - x^2) - (2 + x) = 2 - x^2 - x

Теперь мы можем интегрировать эту разность функций по оси x в пределах от -2 до 1, чтобы найти площадь фигуры: S = ∫[a,b] (2 - x^2 - x) dx

Вычислим этот интеграл: S = ∫[-2,1] (2 - x^2 - x) dx S = [2x - (x^3/3) - (x^2/2)]|[-2,1] S = [2(1) - (1^3/3) - (1^2/2)] - [2(-2) - ((-2)^3/3) - ((-2)^2/2)] S = [2 - 1/3 - 1/2] - [-4 + 8/3 - 2] S = [6/6 - 2/6 - 3/6] - [-24/6 + 16/6 - 12/6] S = [1/6] - [-20/6] S = 21/6 S = 7/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=4-x^2 и y=2+x, равна 7/2 или 3.5.