Question

Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления ,затратив на обратный путь на 6 часов меньше.Найдите скорость течения реки ,если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. ответ дайте в км/ч

Answer 1

Пусть х км/ч -скорость течения реки. Тогда

8+х км/ч - скорость лодки по течению, 8-х км/ч против течения.

$\frac{55}{8-x}$км/ч -затрачено на путь против течения, 

$\frac{55}{8+x}$км/ч -затрачено на путь по течению.

По условию разница вовремени составила 6 ч. Получим уравнение: 

$\frac{55}{8-x}-\frac{55}{8+x}=6$ 

При $x\neqб8$ получим

$55(8+x)-55(8-x)=6(64-x^2)$

$3x^2+55x-192=0$

D=5329

$x=\frac{-55б73}{6}$ 

$x_1=\frac{-128}{6}=-21\frac{1}{3}$, $x_2=3$

Оба корня уравнения удовлетворяют требованию $x\neqб8$, однако, $x_1=-21\frac{1}{3}$ не удовлетворяет требованию х>0 (скорость течения).

Значит, 3 км/ч - скорость течения реки.

Answer 2

Давайте обозначим скорость течения реки через \( V_t \) (в км/ч), а скорость моторной лодки в неподвижной воде (скорость движения лодки без учета течения реки) через \( V_b \) (в км/ч).

Если лодка движется вдоль течения реки, ее эффективная скорость увеличивается на скорость течения, и наоборот, когда лодка движется против течения, ее эффективная скорость уменьшается на скорость течения.

Для первой части пути (прохождение 55 км по течению) время в пути \( T_1 \) можно выразить как:

\[ T_1 = \frac{55}{V_b + V_t} \]

Для второй части пути (обратный путь) время в пути \( T_2 \) будет:

\[ T_2 = \frac{55}{V_b - V_t} \]

Условие задачи гласит, что обратный путь занимает на 6 часов меньше времени, чем первый путь:

\[ T_1 = T_2 - 6 \]

Подставим выражения для \( T_1 \) и \( T_2 \):

\[ \frac{55}{V_b + V_t} = \frac{55}{V_b - V_t} - 6 \]

Теперь подставим известное значение скорости лодки в неподвижной воде \( V_b = 8 \) км/ч:

\[ \frac{55}{8 + V_t} = \frac{55}{8 - V_t} - 6 \]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на общий знаменатель (8 + \( V_t \)) (8 - \( V_t \)):

\[ 55(8 - V_t) = 55(8 + V_t) - 6(8 + V_t)(8 - V_t) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 440 - 55V_t = 440 + 55V_t - 6(64 - V_t^2) \]

\[ 440 - 55V_t = 440 + 55V_t - 384 + 6V_t^2 \]

\[ 0 = 6V_t^2 - 55V_t + 384 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой:

\[ V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 6, b = -55, c = 384 \).

\[ V_t = \frac{55 \pm \sqrt{(-55)^2 - 4(6)(384)}}{2(6)} \]

\[ V_t = \frac{55 \pm \sqrt{3025 - 2304}}{12} \]

\[ V_t = \frac{55 \pm \sqrt{721}}{12} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( V_t \):

\[ V_t = \frac{55 + \sqrt{721}}{12} \approx 7.69 \, \text{км/ч} \]

и

\[ V_t = \frac{55 - \sqrt{721}}{12} \approx 0.18 \, \text{км/ч} \]

Ответ: Скорость течения реки примерно 7.69 км/ч (положительное значение, так как лодка двигалась по течению).