Question

Найдите значение дроби х^2-5xy+y^2/x+y+2 при х= 3 +корень из 5 и у= 3 -корень из 5

Answer 1

Числитель делим на y^2, будет
(x/y)^2 - 5*(x/y) + 1
Найдем
$\frac{x}{y} = \frac{3+ \sqrt{5} }{3- \sqrt{5} } = \frac{(3+ \sqrt{5})^2}{(3+ \sqrt{5})(3- \sqrt{5})} = \frac{9+6 \sqrt{5} +5}{9-5}= \frac{14+6 \sqrt{5} }{4} = \frac{7+3 \sqrt{5} }{2}$
Тогда числитель равен
$(\frac{7+3 \sqrt{5} }{2})^2-5*\frac{7+3 \sqrt{5} }{2}+1= \frac{49+42 \sqrt{5}+45}{4} - \frac{35+15 \sqrt{5} }{2} +1=$
$= \frac{94+42 \sqrt{5} }{4}- \frac{35+15 \sqrt{5} }{2} +1= \frac{47+21 \sqrt{5}-35-15 \sqrt{5}+2 }{2}= \frac{14+6 \sqrt{5} }{2} = 7+3 \sqrt{5}$

Знаменатель тоже делим на y^2, будет
(x+y+2)/y^2
Найдем
$y^2=(3- \sqrt{5} )^2=9-6 \sqrt{5}+5=14-6 \sqrt{5}$
Тогда знаменатель равен
$\frac{x+y+2}{y^2} = \frac{3+ \sqrt{5}+3- \sqrt{5} +2 }{14-6 \sqrt{5} }= \frac{8}{14-6 \sqrt{5}} = \frac{4}{7-3 \sqrt{5} }$
А вся дробь равна
$\frac{7+3 \sqrt{5}}{ \frac{4}{7-3 \sqrt{5}} } = \frac{(7+3 \sqrt{5})(7-3 \sqrt{5})}{4} = \frac{49-9*5}{4}= \frac{49-45}{4} =1$

Answer 2

Для нахождения значения выражения \(\frac{x^2 - 5xy + y^2}{x + y + 2}\) при \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(y = 3 - \sqrt{5}\), мы можем начать с подстановки значений \(x\) и \(y\) в числитель и знаменатель дроби.

Итак, числитель выражения \(x^2 - 5xy + y^2\) может быть переписан как квадрат разности \(x^2 - 2xy + y^2\):

\((x - y)^2 = (3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5.\)

А знаменатель \(x + y + 2\) при подстановке значений \(x\) и \(y\) будет равен:

\(x + y + 2 = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) + 2 = 6.\)

Теперь мы можем подставить найденные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

\(\frac{x^2 - 5xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{5}{6}.\)

Таким образом, значение выражения \(\frac{x^2 - 5xy + y^2}{x + y + 2}\) при \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(y = 3 - \sqrt{5}\) равно \(\frac{5}{6}\).