Question

Помогите решить sin2α(sin2α+sin2β)+cos2α(cos2α+cos2β)

Answer 1

Решение внизу в приложении

Answer 2

Для решения данного выражения, давайте преобразуем его, используя формулы тригонометрии.

Данное выражение выглядит следующим образом: sin^2(α)(sin^2(α) + sin^2(β)) + cos^2(α)(cos^2(α) + cos^2(β))

Раскрытие скобок

Для начала раскроем скобки. У нас есть две скобки, каждая содержит сумму двух квадратов. Мы можем использовать формулу суммы квадратов для раскрытия скобок:

a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)

Применим данную формулу к нашему выражению:

sin^2(α)(sin^2(α) + sin^2(β)) + cos^2(α)(cos^2(α) + cos^2(β))

= sin^2(α) * (sin^2(α) + sin^2(β)) + cos^2(α) * (cos^2(α) + cos^2(β))

= sin^2(α) * sin^2(α) + sin^2(α) * sin^2(β) + cos^2(α) * cos^2(α) + cos^2(α) * cos^2(β)

Упрощение тригонометрических выражений

Теперь у нас есть четыре тригонометрических выражения, которые мы можем упростить, используя тригонометрические тождества:

sin^2(α) * sin^2(α) = sin^4(α)

sin^2(α) * sin^2(β) = sin^2(α) * (1 - cos^2(β)) = sin^2(α) - sin^2(α) * cos^2(β)

cos^2(α) * cos^2(α) = cos^4(α)

cos^2(α) * cos^2(β) = cos^2(α) * (1 - sin^2(β)) = cos^2(α) - cos^2(α) * sin^2(β)

Замена в исходном выражении

Теперь заменим упрощенные выражения в исходном выражении:

sin^4(α) + sin^2(α) - sin^2(α) * cos^2(β) + cos^4(α) - cos^2(α) * sin^2(β)

Суммируем подобные слагаемые

Суммируем подобные слагаемые:

(sin^4(α) + cos^4(α)) + (sin^2(α) - sin^2(α) * cos^2(β) - cos^2(α) * sin^2(β))

Используем тригонометрическое тождество

(sin^2(α) + cos^2(α)) = 1

Подставим данное тождество:

1 + (sin^2(α) - sin^2(α) * cos^2(β) - cos^2(α) * sin^2(β))

Упрощение

Теперь упростим полученное выражение:

1 + sin^2(α) - sin^2(α) * cos^2(β) - cos^2(α) * sin^2(β)

1 - sin^2(α) * cos^2(β) - cos^2(α) * sin^2(β)

Используем тригонометрическое тождество

(sin^2(α) * cos^2(β) + cos^2(α) * sin^2(β)) = sin^2(α + β)

Подставим данное тождество:

1 - sin^2(α + β)

Таким образом, исходное выражение sin^2(α)(sin^2(α) + sin^2(β)) + cos^2(α)(cos^2(α) + cos^2(β)) упрощается до 1 - sin^2(α + β).