Question

Помогите пожалуйста,очень нужно 1.Функция задана формулой y=x^2+px+q.Найдите p и q,если: а)график функции пересекает оси координат в точках(0;8)и(4;0) б)наименьшее значение, равное -5, функция принимает x=2. №2 Определите значение а, при которых график функции y=2x^2+x+a лежит выше оси абсцисс. №3 Задайте формулой квадратичную функцию, график которой проходит через точки А(3;3), В(-1;3), С(5;15)

Answer 1

1)
a)
Подставим значения точек в формулу и найдём p и q:
$y=x^2+px+q\\A(0;8):\ \ 8=0^2+p*0+q\Rightarrow q=8\\B(4;0):\ \ 0=4^2+p*4+q\Rightarrow16+4p+8=0\Rightarrow p=-6\\y=x^2-6x+8$

б)
Вершину параболы(наименьшее значение, если коэффициент при x² положительный) можно найти по формуле:
$ax^2+bx+c=0\\x=-\frac{b}{2a}\\\\y=x^2+px+q\\2=-\frac{p}{2*1}\Rightarrow p=-4$
найдём q подставив точку (2;-5) в функцию:
$-5=2^2-4*2+q\\q=-5-4+8\\q=-1$
$y=x^2-4x-1$



2)
График лежит выше оси абсцисс, когда отрицателен его дискриминант и коэффициент при x² положительный. У нас коэффициент положительный поэтому смотрим когда дискриминант отрицателен.
$y=2x^2+x+a\\D=1^2-4*a*2\\D\ \textless \ 0\\1-8a\ \textless \ 0\\8a\ \textgreater \ 1\\a\ \textgreater \ \frac{1}{8}$



3)
Подставим все значение в квадратичную функцию, общий вид которой y=ax²+bx+c, составим систему и найдём значения коэффициентов.
{3=a·3²+b·3+c
{3=a·(-1)²+b·(-1)+c
{15=a·5²+b·5+c
↓
{3=9a+3b+c
{3=a-b+c
{15=25a+5b+c
↓от первого отнимем второе уравнение
{3-3=9a-a+3b-(-b)+c-c
{3=a-b+c
{15=25a+5b+c
↓
{0=8a+4b
{3=a-b+c
{15=25a+5b+c
↓Выражаем b и c через а
{b=-2a
{c=3-3a
{15=25a+5·(-2a)+(3-3а)
↓Отдельно решим 3 уравение
25a-10a-3a=15-3
12a=12
a=1
↓Найдём b и c из первых двух уравнений
b=-2·1=-2
c=3-3·1=0
Получаем квадратичную функцию:
y=x²-2x

Answer 2

1. а) Поскольку график функции пересекает ось абсцисс в точке (4,0), это значит, что при x=4 значение функции равно 0. Подставим это значение в формулу функции: 0 = 4^2 + 4p + q 16 + 4p + q = 0 Также, поскольку график функции пересекает ось ординат в точке (0,8), это значит, что при x=0 значение функции равно 8. Подставим это значение в формулу функции: 8 = 0^2 + 0p + q 8 = q Теперь у нас есть два уравнения: 16 + 4p + q = 0 8 = q Подставим значение q в первое уравнение: 16 + 4p + 8 = 0 4p = -24 p = -6 Значение p равно -6, а значение q равно 8.

б) Мы знаем, что наименьшее значение функции равно -5, и это значение достигается при x=2. Подставим эти значения в формулу функции: -5 = 2^2 + 2p + q -5 = 4 + 2p + q -9 = 2p + q Также, график функции проходит через точку (2,-5), поэтому: -5 = 2^2 + 2p + q -5 = 4 + 2p + q -1 = 2p + q Теперь у нас есть два уравнения: -9 = 2p + q -1 = 2p + q Вычтем второе уравнение из первого: -9 - (-1) = 2p + q - (2p + q) -9 + 1 = 2p - 2p + q - q -8 = 0 Это противоречие, поскольку уравнение -8 = 0 не имеет решений. Значит, такое значение a, при котором функция принимает наименьшее значение -5 при x=2, не существует.

2. Для того чтобы график функции лежал выше оси абсцисс, все значения функции должны быть положительными. Подставим значение y=0 в формулу функции и решим уравнение относительно a: 0 = 2x^2 + x + a 0 = 2(0)^2 + 0 + a 0 = a Значение a равно 0.

3. Поскольку график функции проходит через точки A(3,3), B(-1,3) и C(5,15), мы можем составить систему уравнений на основе этих точек и найти значения коэффициентов функции. Подставим значения x и y точки A(3,3) в формулу функции: 3 = 2(3)^2 + 3 + a 3 = 18 + 3 + a 3 = 21 + a a = -18 Подставим значения x и y точки B(-1,3) в формулу функции: 3 = 2(-1)^2 + (-1) + a 3 = 2 + (-1) + a 3 = 1 + a a = 2 Теперь у нас есть два значения a, полученные из разных точек. Их значения должны быть одинаковыми, поэтому: -18 = 2 Это противоречие, поскольку -18 и 2 не равны. Значит, не существует квадратичной функции, график которой проходит через точки A(3,3), B(-1,3) и C(5,15).