Question

Дана функция f(x)=ax^2+bx+c. Найти a, b и с, если известно, что f(1)=6, f(2)=12 и f(3)=20

Answer 1

$a+b+c=6 \\ 4a+2b+c=12 \\ 9a+3b+c=20$
после чего решаешь систему удобным для тебя способом и получаешь
a=1, b=3, c=2

Answer 2

Для нахождения значений a, b и c в функции f(x) = ax^2 + bx + c, когда известны значения f(1), f(2) и f(3), мы можем воспользоваться системой уравнений, используя эти значения.

Давайте подставим значения x = 1, 2 и 3 в функцию f(x) и получим следующие уравнения:

f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 6 f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 12 f(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 20

Раскроем скобки и упростим уравнения:

a + b + c = 6 -- (1) 4a + 2b + c = 12 -- (2) 9a + 3b + c = 20 -- (3)

Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (a, b и c). Мы можем решить эту систему, используя методы линейной алгебры, такие как метод Гаусса или метод Крамера.

Метод Гаусса

Метод Гаусса позволяет решить систему линейных уравнений, приведя ее к ступенчатому виду (или к расширенной ступенчатой матрице).

1. Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

    1  1  1  |  6
    4  2  1  |  12
    9  3  1  |  20
    

2. Применим элементарные преобразования строк для приведения матрицы к ступенчатому виду. Нашей целью является получение нулей под главной диагональю.

Вначале вычтем четыре первой строки из второй строки и девять первой строки из третьей строки:

    1  1   1   |  6
    0  -2  -3  |  -6
    0  -6  -8  |  -14
    

3. Затем разделим вторую строку на -2:

    1  1   1   |  6
    0  1   3/2 |  3
    0  -6  -8  |  -14
    

4. Вычтем вторую строку, умноженную на 6, из третьей строки:

    1  1   1   |  6
    0  1   3/2 |  3
    0  0   -17 |  -32
    

5. Теперь получим значения переменных. Из третьей строки видим, что -17c = -32, следовательно, c = 32/17.

6. Подставим c во вторую строку и получим 1 + 3/2b = 3. Решая это уравнение, получим b = 2/3.

7. Подставим b и c в первую строку и получим 1 + 2/3 + 32/17 = 6. Решая это уравнение, получим a = 4/17.

Таким образом, мы нашли значения a = 4/17, b = 2/3 и c = 32/17 для функции f(x) = ax^2 + bx + c, когда известны значения f(1) = 6, f(2) = 12 и f(3) = 20.