Question

При всех значениях параметра a решите систему уравнений: (a-2)x+y=12y(3a-7)x+(a+1)y=2(a-1).

Answer 1

{a1x+b1y=c1
{a2x+b2y=c2
1)a1/a2=b1/b2=c1/c2
множество решений
2) a1/a2=b1/b2≠c1/c2
нет решения
3)а1/а2≠b1/b2
одно решение
-----------------------------------------
{(a-2)/(6a-14)=1/(a+1)⇒a²-a-2=6a-14⇒a²-7a+12=0⇒a1=3 U a2=4
{(a-2)/(6a-14)=1/(2a-2)⇒2a²-6a+4=6a-14⇒2a²-12a+18=0⇒2(a-3)²=0⇒a=3
{1/(a+1)=1/(2a-2)⇒2a-2=a+1⇒a=3
при а=3 система имеет множество решений
при а=4 не имеет решения
при а≠3 и а≠4 единственное решение

Answer 2

Для решения данной системы уравнений с параметром a, мы можем использовать методы алгебры, такие как метод подстановки или метод исключения. Давайте рассмотрим оба метода.

Метод подстановки:

Шаг 1: Решение первого уравнения относительно x. (a-2)x + y = 12 => x = (12 - y)/(a-2)

Шаг 2: Подставляем найденное значение x во второе уравнение. y(3a-7)(12-y)/(a-2) + (a+1)y = 2(a-1)

Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем уравнение. (36ay - 84y - 3ay^2 + 7y^2)/(a-2) + (a+1)y = 2(a-1)

Шаг 4: Умножаем обе части уравнения на (a-2), чтобы избавиться от дробей. 36ay - 84y - 3ay^2 + 7y^2 + (a+1)y(a-2) = 2(a-1)(a-2)

Шаг 5: Раскрываем скобки и приводим подобные члены. 36ay - 84y - 3ay^2 + 7y^2 + a^2y - 2ay + ay^2 - 2y = 2(a^2 - 3a + 2)

Шаг 6: Собираем все члены с y в квадратное уравнение. (a^2 - 3a + 2 - 3a^2 + 7a - 2a^2)y^2 + (36a - 84 - 2a + a^2 - 2)y - 2(a^2 - 3a + 2) = 0

Шаг 7: Решаем полученное квадратное уравнение относительно y.

Теперь мы можем рассмотреть два возможных случая:

Случай 1: Дискриминант равен нулю

Если дискриминант равен нулю, то у нас будет только одно решение для y.

(a^2 - 3a + 2 - 3a^2 + 7a - 2a^2)y^2 + (36a - 84 - 2a + a^2 - 2)y - 2(a^2 - 3a + 2) = 0

Дискриминант D равен:

D = (36a - 84 - 2a + a^2 - 2)^2 - 4(a^2 - 3a + 2)(a^2 - 3a + 2 - 3a^2 + 7a - 2a^2)

Если D = 0, то мы можем решить уравнение для y и затем использовать найденное значение y для нахождения соответствующего значения x.

Случай 2: Дискриминант больше нуля

Если дискриминант больше нуля, то у нас будет два решения для y. Мы можем найти эти значения и затем использовать их для нахождения соответствующих значений x.

(a^2 - 3a + 2 - 3a^2 + 7a - 2a^2)y^2 + (36a - 84 - 2a + a^2 - 2)y - 2(a^2 - 3a + 2) = 0

Дискриминант D равен:

D = (36a - 84 - 2a + a^2 - 2)^2 - 4(a^2 - 3a + 2)(a^2 - 3a + 2 - 3a^2 + 7a - 2a^2)

Если D > 0, то мы можем решить квадратное уравнение для y и затем использовать найденные значения y для нахождения соответствующих значений x.

Пример решения для конкретного значения параметра a:

Предположим, что a = 3.

1) Подставляем a = 3 в первое уравнение: (3-2)x + y = 12 => x + y = 12

2) Подставляем a = 3 во второе уравнение: y(3*3-7)x + (3+1)y = 2(3-1) (9-7)x + 4y = 4 2x + 4y = 4

Теперь у нас есть система уравнений без параметра:

x + y = 12 2x + 4y = 4

Мы можем решить эту систему уравнений, используя любой метод, такой как метод подстановки или метод исключения. Предположим, мы используем метод исключения:

Умножаем первое уравнение на 2:

2x + 2y = 24

Вычитаем из второго уравнения:

(2x + 4y) - (2x + 2y) = 4 - 24

2y = -20 y = -10

Подставляем найденное значение y в первое уравнение:

x + (-10) = 12 x = 22

Таким образом, при a = 3, решение системы уравнений будет x = 22 и y = -10.

Мы можем продолжить этот процесс для других значений параметра a, чтобы найти соответствующие решения системы уравнений.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.