Question

Сократить дробь x^2-5/x^2-(3+под корнем 5)x+3под корнем5

Answer 1

Какое условие правильно записано?

Answer 2

Давайте найдем корни знаменателя этой дроби и разложим его на множители. Для этого решим квадратное уравнение в знаменателе:

\[ x^2 - (\sqrt{5} + 3)x + 3\sqrt{5} = 0 \]

Корни этого уравнения можно найти, используя формулу квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1, b = -(\sqrt{5} + 3), c = 3\sqrt{5} \).

\[ x = \frac{(\sqrt{5} + 3) \pm \sqrt{(\sqrt{5} + 3)^2 - 4(3\sqrt{5})}}{2} \]

Раскроем скобки:

\[ x = \frac{\sqrt{5} + 3 \pm \sqrt{5 + 6\sqrt{5} + 9 - 12\sqrt{5}}}{2} \]

\[ x = \frac{\sqrt{5} + 3 \pm \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}}{2} \]

Корень извлекается из выражения \(14 - 6\sqrt{5}\) следующим образом:

\[ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1 \]

Таким образом, корень становится:

\[ x = \frac{\sqrt{5} + 3 \pm (\sqrt{5} - 1)}{2} \]

Теперь у нас есть два корня для знаменателя:

1. \[ x_1 = \frac{\sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2}{2} = \sqrt{5} + 1 \]

2. \[ x_2 = \frac{\sqrt{5} + 3 - (\sqrt{5} - 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, знаменатель можно разложить на множители:

\[ (x - (\sqrt{5} + 1))(x - 2) \]

Теперь, чтобы сократить дробь, домножим числитель и знаменатель на обратное выражение в знаменателе:

\[ \frac{x^2 - 5}{x^2 - (\sqrt{5} + 3)x + 3\sqrt{5}} \times \frac{(x - 2)}{(x - (\sqrt{5} + 1))(x - 2)} \]

Теперь можно сократить:

\[ \frac{(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})}{(x - (\sqrt{5} + 1))(x - 2)} \]

Таким образом, упрощенная дробь:

\[ \frac{(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})}{(x - (\sqrt{5} + 1))(x - 2)} \]