Question

Помогите! Пожалуйста! Сколько общих точек имеют графики уравнений: 2у^2+х^2=14 и 2у^2-х^2=-18

Answer 1

2у²+2х²=14
2у²-2х²=-18

х² = 14-2у²
х²=2у²+18

14-2у²=2у²+18
4у²=-4
у²=-1

Такого быть не может, поэтому эти графики не имеют общих точек.

Answer 2

Давайте решим систему уравнений:

1. \(2y^2x^2 = 14\) 2. \(2y^2 - x^2 = -18\)

Для начала приведем второе уравнение к виду, аналогичному первому:

1. \(2y^2x^2 = 14\) 2. \(x^2 - 2y^2 = 18\)

Теперь у нас есть система:

\[ \begin{cases} 2y^2x^2 = 14 \\ x^2 - 2y^2 = 18 \end{cases} \]

Решим первое уравнение относительно \(x^2\):

\[ x^2 = \frac{14}{2y^2} = \frac{7}{y^2} \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ \frac{7}{y^2} - 2y^2 = 18 \]

Умножим обе стороны на \(y^2\):

\[ 7 - 2y^4 = 18y^2 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ 2y^4 + 18y^2 - 7 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(y^2\). Решим его, используя дискриминант:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

где \(a = 2\), \(b = 18\), \(c = -7\). Подставим значения:

\[ \Delta = 18^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) \]

\[ \Delta = 324 + 56 \]

\[ \Delta = 380 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня:

\[ y^2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

\[ y^2 = \frac{-18 \pm \sqrt{380}}{4} \]

\[ y^2 = \frac{-18 \pm 2\sqrt{95}}{4} \]

\[ y^2 = -\frac{9}{2} \pm \frac{\sqrt{95}}{2} \]

Теперь у нас есть два значения \(y^2\). Подставим их в уравнение \(x^2 = \frac{7}{y^2}\), чтобы получить соответствующие значения \(x^2\). После этого мы сможем найти значения \(x\) по \(x^2\):

Для \(y^2 = -\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{95}}{2}\):

\[ x^2 = \frac{7}{-\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{95}}{2}} \]

\[ x^2 = \frac{14}{-9 + \sqrt{95}} \]

\[ x^2 = \frac{14(-9 - \sqrt{95})}{(-9 + \sqrt{95})(-9 - \sqrt{95})} \]

\[ x^2 = \frac{-126 - 14\sqrt{95}}{-9^2 + (\sqrt{95})^2} \]

\[ x^2 = \frac{-126 - 14\sqrt{95}}{81 - 95} \]

\[ x^2 = \frac{-126 - 14\sqrt{95}}{-14} \]

\[ x^2 = 9 + \sqrt{95} \]

\[ x = \pm\sqrt{9 + \sqrt{95}} \]

Для \(y^2 = -\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{95}}{2}\):

\[ x^2 = \frac{7}{-\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{95}}{2}} \]

\[ x^2 = \frac{14}{-9 - \sqrt{95}} \]

\[ x^2 = \frac{14(-9 + \sqrt{95})}{(-9 - \sqrt{95})(-9 + \sqrt{95})} \]

\[ x^2 = \frac{-126 + 14\sqrt{95}}{-9^2 - (\sqrt{95})^2} \]

\[ x^2 = \frac{-126 + 14\sqrt{95}}{81 - 95} \]

\[ x^2 = \frac{-126 + 14\sqrt{95}}{-14} \]

\[ x^2 = 9 - \sqrt{95} \]

\[ x = \pm\sqrt{9 - \sqrt{95}} \]

Таким образом, у системы есть четыре решения:

1. \(x = \sqrt{9 + \sqrt{95}},\ y = -\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{95}}{2}\) 2. \(x = -\sqrt{9 + \sqrt{95}},\ y = -\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{95}}{2}\) 3. \(x = \sqrt{9 - \sqrt{95}},\ y = -\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{95}}{2}\) 4. \(x = -\sqrt{9 - \sqrt{95}},\ y = -\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{95}}{2}\)

Пожалуйста, проверьте вычисления и подсчеты, чтобы быть уверенным в правильности ответов.