Question

Представьте 105° как сумму 60°+45°,вычислите 1) sin105° 2)cos 105°

Answer 1

Решение во вложении на фото.

Answer 2

Конечно, давайте представим угол \(105^\circ\) как сумму углов \(60^\circ\) и \(45^\circ\):

\[105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.\]

Теперь вычислим значения синуса и косинуса для \(105^\circ\):

1) Синус \(105^\circ\):

Мы знаем, что \(\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B\). Применим это к нашему случаю, где \(A = 60^\circ\) и \(B = 45^\circ\):

\[\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ.\]

Значения синусов и косинусов для \(60^\circ\) и \(45^\circ\) можно найти в таблицах или рассчитать. Примем, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.\]

2) Косинус \(105^\circ\):

Аналогично, применим формулу \(\cos(A + B)\):

\[\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ.\]

Используем те же значения:

\[\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.\]

Таким образом, получаем значения:

1) \(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4},\)

2) \(\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.\)