Question

Периметр прямоугольника равен 54 см. Если ширину уменьшить на 4 см. а длину уменьшить на 5 см. то площадь прямоугольника уменьшится на 100 см.^2. Найдите длину и ширину данного прямоугольника.

Answer 1

..........................

Answer 2

Пусть \(x\) - длина прямоугольника, а \(y\) - его ширина.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. Периметр прямоугольника равен 54 см:

\(2x + 2y = 54\)

2. Если ширину уменьшить на 4 см, а длину уменьшить на 5 см, то площадь уменьшится на 100 см\(^2\):

\((x - 5) \cdot (y - 4) = xy - 100\)

Решим эту систему уравнений. Для этого преобразуем первое уравнение:

\[ \begin{align*} 2x + 2y &= 54 \\ x + y &= 27 \quad \text{(разделим обе стороны на 2)} \end{align*} \]

Теперь у нас есть система:

\[ \begin{align*} x + y &= 27 \quad \text{(1)} \\ (x - 5) \cdot (y - 4) &= xy - 100 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[ \begin{align*} xy - 5y - 4x + 20 &= xy - 100 \\ -5y - 4x &= -120 \quad \text{(3)} \end{align*} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} x + y &= 27 \quad \text{(1)} \\ -5y - 4x &= -120 \quad \text{(3)} \end{align*} \]

Решим систему. Домножим первое уравнение на 4, чтобы избавиться от коэффициента при \(x\) во втором уравнении:

\[ \begin{align*} 4x + 4y &= 108 \quad \text{(4)} \\ -5y - 4x &= -120 \quad \text{(3)} \end{align*} \]

Сложим уравнения (4) и (3), чтобы избавиться от \(x\):

\[ \begin{align*} 4x + 4y - 4x - 5y &= 108 - 120 \\ -y &= -12 \end{align*} \]

Теперь найдем \(y\):

\[y = 12\]

Подставим \(y\) в уравнение (1):

\[x + 12 = 27\]

Теперь найдем \(x\):

\[x = 15\]

Таким образом, длина прямоугольника \(x = 15\) см, а его ширина \(y = 12\) см.