Question

Помогите решить уравнение 3 + 2sin2x= tgx + ctgx

Answer 1

3sinxcosx+4sin^2xcos^2x-1=0 
3/2sin2x+sin^2(2x)-1=0 
sin2x=1/2 
sin2x=-2 (но sinx по модулю меньше 1, следовательно это решение на не устраивает) 
2x=п/6+2Пn x1=П/12+Пn 
2x=5/6П+2Пn x2=5П/12+Пn

Answer 2

Давайте решим уравнение 3 + 2sin^2(x) = tan(x) + cot(x) подробно.

Первый шаг: Приведение к общему знаменателю

Начнем с приведения правой части уравнения к общему знаменателю. Так как cot(x) является обратным тангенсу, мы можем записать его как 1/tan(x). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

3 + 2sin^2(x) = tan(x) + 1/tan(x)

Второй шаг: Приведение к квадратному уравнению

Далее, заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x) по формуле тригонометрии. Подставим это в уравнение:

3 + 2(1 - cos^2(x)) = tan(x) + 1/tan(x)

Раскроем скобки:

3 + 2 - 2cos^2(x) = tan(x) + 1/tan(x)

Упростим:

5 - 2cos^2(x) = tan(x) + 1/tan(x)

Третий шаг: Приведение к квадратному уравнению

Мы хотим привести это уравнение к виду, где одна сторона будет равна нулю. Для этого вычтем tan(x) и 1/tan(x) из обеих сторон:

5 - 2cos^2(x) - tan(x) - 1/tan(x) = 0

Четвертый шаг: Приведение к квадратному уравнению

Теперь, чтобы избавиться от обратных тангенсов, мы можем умножить обе стороны на tan(x):

(5 - 2cos^2(x))tan(x) - tan^2(x) - 1 = 0

Пятый шаг: Замена sin(x)/cos(x) на tan(x)

Теперь заметим, что tan(x) = sin(x)/cos(x). Подставим это в уравнение:

(5 - 2cos^2(x))(sin(x)/cos(x)) - (sin(x)/cos(x))^2 - 1 = 0

Шестой шаг: Упрощение выражения

Упростим это выражение, раскрыв скобки и учитывая, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

(5sin(x)/cos(x) - 2cos^2(x)sin(x)/cos(x)) - (sin^2(x)/cos^2(x)) - 1 = 0

Упростим дальше:

5sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) - sin^2(x) - cos^2(x) = 0

Седьмой шаг: Приведение подобных членов

Объединим подобные члены:

5sin(x) - 2cos^2(x)sin(x) - sin^2(x) - cos^2(x) = 0

Упростим дальше:

5sin(x) - sin^2(x) - cos^2(x)(2sin(x) + 1) = 0

Восьмой шаг: Факторизация

Теперь мы можем факторизовать это уравнение:

(5 - sin(x))(sin(x) + cos^2(x) + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных решения:

1) 5 - sin(x) = 0 2) sin(x) + cos^2(x) + 1 = 0

Решение первого уравнения

Решим первое уравнение:

5 - sin(x) = 0

Вычитаем 5 из обеих сторон:

-sin(x) = -5

Умножаем обе стороны на -1:

sin(x) = 5

Однако синус угла не может быть больше 1, поэтому это уравнение не имеет решений.

Решение второго уравнения

Решим второе уравнение:

sin(x) + cos^2(x) + 1 = 0

Вычтем 1 из обеих сторон:

sin(x) + cos^2(x) = -1

Теперь заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим это в уравнение:

1 - cos^2(x) + cos^2(x) = -1

Упростим:

1 = -1

Это уравнение не имеет решений.

Итоговый вывод

Уравнение 3 + 2sin^2(x) = tan(x) + cot(x) не имеет решений.