Question

Найти область определения функции у=log0.7(x²+4x-32)

Answer 1

$x^{2} +4x-32\ \textgreater \ 0$
D=16+128=144
x1=4
x2= - 8
решаем методом интервалов и получаем 
( - ∞; - 8 ) (4 ; + ∞)

Answer 2

Чтобы найти область определения функции \(y = \log_{0.7}(x^2 + 4x - 32)\), нужно учесть, что логарифм от неотрицательного числа определен только в том случае, если основание логарифма положительное и не равно 1.

В данном случае основание логарифма равно 0.7. Таким образом, выражение \(x^2 + 4x - 32\) должно быть больше 0 (так как логарифм от отрицательного числа не определен) и не может равняться 1.

Решим неравенство \(x^2 + 4x - 32 > 0\). Для этого найдем корни уравнения \(x^2 + 4x - 32 = 0\), а затем используем метод интервалов для определения знака выражения между корнями.

1. Найдем корни уравнения \(x^2 + 4x - 32 = 0\). Мы можем сначала поделить все коэффициенты на 4 для упрощения:

\(\frac{1}{4}x^2 + x - 8 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = \frac{1}{4}\), \(b = 1\), \(c = -8\).

\(D = 1 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-8) = 1 + 8 = 9\)

Корни уравнения:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2 \cdot \frac{1}{4}}\)

\(x_1 = \frac{-1 + 3}{\frac{1}{2}} = 4\)

\(x_2 = \frac{-1 - 3}{\frac{1}{2}} = -8\)

2. Теперь разберемся с неравенством \(x^2 + 4x - 32 > 0\) на основе корней. Используем метод интервалов:

- Берем точку слева от \(x_1\), например, \(x = -9\): \((-9)^2 + 4(-9) - 32 = 81 - 36 - 32 = 13\) - Берем точку между \(x_1\) и \(x_2\), например, \(x = 0\): \(0^2 + 4(0) - 32 = -32\) - Берем точку справа от \(x_2\), например, \(x = 5\): \(5^2 + 4(5) - 32 = 25 + 20 - 32 = 13\)

Исходя из знаков значений в этих точках, можно определить область, где неравенство выполняется:

\((-8, 4)\)

Таким образом, область определения функции \(y = \log_{0.7}(x^2 + 4x - 32)\) это интервал \((-8, 4)\).