Question

Корень квадратный из а - 4sin( четвертой степени)x = cos ( квадрат)х , найти все а при которых имеет решение

Answer 1

$\sqrt{a-4 sin^{4} x} =cos^{2}x \\ a-4sin^4x=cos^4x \\ a=cos^4x+4sin^4x \\ a=1+3sin^4x \\ sin^4x=\frac{a-1}{3} \\ 0 \leq \frac{a-1}{3} \leq 1 \\ 1\leq a \leq 4$

Answer 2

Дано уравнение: √(a - 4sin^4x) = cos^2x

Для начала, заметим, что a должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определен.

Подставим значение cos^2x = 1 - sin^2x в уравнение:

√(a - 4sin^4x) = 1 - sin^2x

Возведем обе части уравнения в квадрат:

a - 4sin^4x = (1 - sin^2x)^2

a - 4sin^4x = 1 - 2sin^2x + sin^4x

Теперь приведем подобные слагаемые:

a - 5sin^4x + 2sin^2x - 1 = 0

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

-5sin^4x + 2sin^2x + a - 1 = 0

Заметим, что это квадратное уравнение относительно sin^2x. Пусть sin^2x = t:

-5t^2 + 2t + a - 1 = 0

Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*(-5)*(a-1) = 4 + 20(a-1) = 20a - 16

Дискриминант должен быть неотрицательным, поэтому:

20a - 16 ≥ 0

20a ≥ 16

a ≥ 16/20

a ≥ 4/5

Таким образом, уравнение имеет решение при a ≥ 4/5.