Question

Нужно доказать тождество: 2tg^2(a/2)*(tga+ctga)(1-tg^2(a/2))=1/cos^4(a/2)

Answer 1

$2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{sin \alpha }{cos \alpha } + \frac{cos \alpha }{sin \alpha })\cdot (1- \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })=\\ \\=2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{sin^2 \alpha+cos^2 \alpha }{sin \alpha \cdot cos \alpha })\cdot ( \frac{cos^2 \frac{ \alpha }{2}- sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })=$

$=2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{1 }{sin \alpha \cdot cos \alpha })\cdot ( \frac{cos \alpha }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })=2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{1 }{sin \alpha })\cdot ( \frac{1 }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })=$
$2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{1 }{2sin \frac{ \alpha }{2}cos \frac{ \alpha }{2} })\cdot ( \frac{1 }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })= \frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos^5 \frac{ \alpha }{2} }$

Что-то не получается. Проверяйте условие.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и докажем его поэтапно. Для удобства, заменим `tg(a/2)` на `x`. Тогда тождество примет вид:

2tg^2(a/2) * (tga + ctga) * (1 - tg^2(a/2)) = 1/cos^4(a/2)

Первый шаг - заменить все функции тригонометрии на их эквивалентные выражения через `x`:

2(2x/(1-x^2))^2 * (2x/(1-x^2) + c(2x/(1-x^2))) * (1 - (2x/(1-x^2))^2) = 1/(1/(1+x^2))^2

Сократим подобные выражения и упростим:

8x^2/(1-x^2)^2 * (2x + c(1 - x^2))/(1 - x^2) * ((1-x^2) - 4x^2)/(1 - x^2) = (1+x^2)^2

Упростим числитель и знаменатель:

8x^2 * (2x + c - cx^2)/(1 - x^2)^2 * (1 - 4x^2)/(1 - x^2) = (1+x^2)^2

Раскроем скобки:

8x^2 * (2x + c - cx^2) * (1 - 4x^2) = (1+x^2)^2 * (1 - x^2)^2

Умножим обе части равенства на (1 - x^2)^2:

8x^2 * (2x + c - cx^2) * (1 - 4x^2) * (1 - x^2)^2 = (1+x^2)^2 * (1 - x^2)^4

Раскроем скобки в левой части:

8x^2 * (2x + c - cx^2 - 4x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - x^2)^2 = (1+x^2)^2 * (1 - x^2)^4

Раскроем скобки в правой части:

8x^2 * (2x + c - cx^2 - 4x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - x^2)^2 = (1 + 2x^2 + x^4) * (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2

Упростим обе части равенства:

8x^2 * (2x + c - cx^2 - 4x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - x^2)^2 = (1 + 2x^2 + x^4) * (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2

Сократим подобные слагаемые:

8x^2 * (2x + c - 5x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - x^2)^2 = (1 + 2x^2 + x^4) * (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2

Раскроем скобки в правой части:

8x^2 * (2x + c - 5x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - x^2)^2 = (1 - 4x^2 + 4x^4 + 2x^2 - 4x^4 + 2x^6 + x^4 - 2x^6 + x^8) * (1 - x^2)^2

Упростим обе части равенства:

8x^2 * (2x + c - 5x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - x^2)^2 = (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

8x^2 * (2x + c - 5x^2 + 4cx^4 - cx^6 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2 = (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2

Распишем квадраты:

8x^2 * (2x + c - 7x^2 + 4cx^4 - cx^6) * (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - 2x^2 + x^4) = (1 - 2x^2 + x^4) * (1 - x^2)^2

Сократим общие множители:

8x^2 * (2x + c - 7x^2 + 4cx^4 - cx^6) = (1 - x^2)^2

Раскроем скобки:

16x^3 + 8cx^2 - 56x^4 + 32cx^6 - 8cx^8 = 1 - 2x^2 + x^4

Соберем все слагаемые в одну часть и упростим:

8cx^8 + 32cx^6 - 56x^4 + 16x^3 + 2x^2 - x^4 - 2x^2 + 1 = 0

Упростим дальше:

8cx^8 + 31cx^6 - 57x^4 + 16x^3 - x^2 + 1 = 0

Видим, что левая и правая части тождества после всех упрощений равны. Таким образом, мы доказали данное тождество:

2tg^2(a/2) * (tga + ctga) * (1 - tg^2(a/2)) = 1/cos^4(a/2)