Question

д) 1+ sin x - cos 2x = 0; е) 1 + сos x + cos 2x = 0.

Answer 1

д) 1+sin(x)-cos(2x)=0

     (sin^2(x)+cos^2(x)) + sin(x) -(cos^2(x)-sin^2(x))=0

      sin^2(x)+cos&2(x)+sin(x)-cos^2(x)+sin^2(x)=0

      2sin^2(x)+sin(x)=0

      sin(x)*(2sin(x)+1)=0

      1)  sin(x)=0

            x=pi*n

       2)  2sin(x)+1=0

            sin(x)=-1/2

            x=(-1)^n*arcsin(-1/2)+pi*n

            x=7pi/6+pi*n

 

e)   1+cos(x)+cos(2x)=0

      (cos^2(x)+sin^2(x))+cos(x)+(cos^2(x)-sin^2(x))=0

      2cos^2(x)+cos(x)=0

      cos(x)*(2cos(x)+1)=0

        1) cos(x)=0

            x=pi/2  +pi*n

        2) 2cos(x)+1=0

            cos(x)=-1/2

            x=±2pi/3 +2pi*n 

Answer 2

Для решения уравнений `1 + sin(x) - cos(2x) = 0` и `1 + cos(x) + cos(2x) = 0`, мы можем использовать методы алгебраической трансцендентной функции. Давайте начнем с первого уравнения.

Решение уравнения 1 + sin(x) - cos(2x) = 0:

Для начала, давайте перепишем уравнение, чтобы выразить `sin(x)` и `cos(2x)` через одну тригонометрическую функцию. Заметим, что `cos(2x)` можно выразить через `cos(x)` и `sin(x)` с помощью тригонометрических формул:

`cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)`

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

`1 + sin(x) - (1 - 2sin^2(x)) = 0`

Упростим:

`1 + sin(x) - 1 + 2sin^2(x) = 0`

`2sin^2(x) + sin(x) = 0`

Теперь мы можем факторизовать это выражение:

`sin(x)(2sin(x) + 1) = 0`

Отсюда мы получаем два возможных решения:

1) `sin(x) = 0` 2) `2sin(x) + 1 = 0`

Давайте рассмотрим каждое решение по отдельности:

1) `sin(x) = 0`

Это уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку `sin(x) = 0` при множестве значений `x`. В терминах интервалов, решение будет иметь вид `x = n * π`, где `n` - целое число.

2) `2sin(x) + 1 = 0`

Выразим `sin(x)`:

`sin(x) = -1/2`

Мы знаем, что `sin(x) = -1/2` при двух особых углах: `-π/6` и `-5π/6`. Однако, `sin(x)` повторяется с периодом `2π`, поэтому мы можем добавить к этим углам любое целое число кратное `2π`. Таким образом, общее решение будет выглядеть как `x = -π/6 + 2πn` и `x = -5π/6 + 2πn`, где `n` - целое число.

Решение уравнения 1 + cos(x) + cos(2x) = 0:

Теперь рассмотрим второе уравнение `1 + cos(x) + cos(2x) = 0`. Снова воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить `cos(2x)` через `cos(x)` и `sin(x)`:

`cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)`

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

`1 + cos(x) + (1 - 2sin^2(x)) = 0`

Упростим:

`2 - 2sin^2(x) + cos(x) = 0`

`2sin^2(x) - cos(x) + 2 = 0`

Уравнение не линейное, поэтому мы не можем применить простые методы факторизации. Однако, мы можем использовать численные методы или графический метод для приближенного нахождения решений.

Итак, решениями данного уравнения `1 + cos(x) + cos(2x) = 0` являются значения `x`, которые удовлетворяют этому уравнению.