Question

Дан многочлен р(х)=х^2+7x+10 а)разложите многочлен р(х) на множители б)решите уравнение р(х)=0

Answer 1

Мы сразу же сделаем и а и б.
По теореме Виета, любой квадратный многочлен можно разложить так:
$a(x-x_1)(x-x_2)$

Поэтому найдем корни, т.е.:
$P(x)=0$
$x^2+7x+10=0$
$\sqrt{D}= \sqrt{49-40} =3$
$x_{1,2}= \frac{-7\pm3}{2}=(-5),(-2)$

Так как коэффициент а равен 1, то получаем следующее разложение:
$(x+5)(x+2)$

Answer 2

Разложение многочлена на множители

Для разложения многочлена на множители мы можем воспользоваться методом "разложения на множители". Для многочлена \( p(x) = x^2 + 7x + 10 \) нам нужно найти два числа, которые умножаются до 10 и складываются до 7. Эти числа будут коэффициентами многочлена в разложенной форме.

Мы ищем два числа \( m \) и \( n \), такие, что \( m \cdot n = 10 \) и \( m + n = 7 \). Эти числа 2 и 5, так как \( 2 \cdot 5 = 10 \) и \( 2 + 5 = 7 \).

Теперь мы можем разложить многочлен на множители: \[ p(x) = x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) \]

Таким образом, многочлен \( p(x) \) разлагается на множители \( (x + 2) \) и \( (x + 5) \).

Решение уравнения \( p(x) = 0 \)

Чтобы найти корни уравнения \( p(x) = 0 \) (или \( x^2 + 7x + 10 = 0 \)), мы можем использовать разложение многочлена на множители, которое мы только что нашли.

Мы знаем, что многочлен разлагается на множители \( (x + 2) \) и \( (x + 5) \), поэтому уравнение \( p(x) = 0 \) можно записать в виде: \[ (x + 2)(x + 5) = 0 \]

Отсюда мы получаем два уравнения: \[ x + 2 = 0 \] и \[ x + 5 = 0 \]

Решая каждое из этих уравнений, мы найдем корни: \[ x = -2 \] и \[ x = -5 \]

Таким образом, корни уравнения \( p(x) = 0 \) равны -2 и -5.