Question

Log½(x)+log½(10-x)≥-1+log½(4,5)ДАЮ 34 БАЛЛА

Answer 1

Log(1/2)(x) = -log(2)(x)   и   log(2)(2) = 1
сумма логарифмов -- логарифм произведения)))
-log(2)(x*(10-x)) >= -log(2)(2*4.5)
log(2)(10x-x^2) <= log(2)(9) ---основание логарифма >1 ---> ф-ция возраст.
10x - x^2 <= 9
x^2 - 10x + 9 >= 0 --кв.трехчлен, по т.Виета корни (9) и (1)
(x-9)(x-1) >= 0 ---парабола, ветви вверх, решение:
(-беск; 1] U [9; +беск)

Answer 2

Для решения данного неравенства, воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Перепишем левую часть неравенства, используя свойство логарифма суммы: log₂(x*y) = log₂(x) + log₂(y)

log₂(x) + log₂(10-x) ≥ -1 + log₂(4,5)

2. Перенесем все слагаемые справа:

log₂(x) + log₂(10-x) - log₂(4,5) ≥ -1

3. Применим свойство логарифма разности: log₂(x/y) = log₂(x) - log₂(y)

log₂(x*(10-x)/4,5) ≥ -1

4. Упростим выражение в логарифме:

log₂((10x-x²)/4,5) ≥ -1

5. Применим свойство логарифма основания a: logₐ(b) ≥ c эквивалентно b ≥ a^c

(10x-x²)/4,5 ≥ 2^(-1)

6. Упростим правую часть неравенства:

(10x-x²)/4,5 ≥ 1/2

7. Умножим обе части неравенства на 4,5, чтобы избавиться от знаменателя:

10x - x² ≥ 2,25

8. Перепишем неравенство в виде квадратного трехчлена:

x² - 10x + 2,25 ≤ 0

9. Решим квадратное уравнение:

(x - 9)(x - 1) ≤ 0

10. Найдем значения x, при которых выражение меньше или равно нулю:

x ≤ 1 или 9 ≤ x

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (-∞, 1] ∪ [9, +∞).