Question

Первообразная от sin^2(x/2)

Answer 1

Sin^2(x/2) = (1 - cosx)/2
Интеграл [(1 - cosx)/2]dx =
 Интеграл (1/2)dx - (1/2)*cosxdx
(1/2)x -(1/2)sinx + C = (1/2)*(x - sinx) + C 

Answer 2

Чтобы найти первообразную от функции sin^2(x/2), мы можем использовать метод интегрирования по частям или замены переменной.

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям применяется, когда мы имеем произведение двух функций. В данном случае, мы можем представить sin^2(x/2) как (sin(x/2))^2.

Чтобы применить метод интегрирования по частям, мы выбираем одну функцию для дифференцирования и другую для интегрирования. Давайте выберем sin(x/2) для дифференцирования и оставим (sin(x/2))^2 для интегрирования.

Дифференцируем sin(x/2): d/dx(sin(x/2)) = (1/2)cos(x/2)

Интегрируем (sin(x/2))^2: ∫(sin(x/2))^2 dx = ∫sin(x/2) * sin(x/2) dx

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям: ∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

где u = sin(x/2) и v = sin(x/2), а u' - это производная u по x.

Применяя эту формулу, мы получим: ∫(sin(x/2))^2 dx = -1/2 * cos(x/2) * sin(x/2) + 1/2 * ∫cos(x/2) * (1/2)cos(x/2) dx

Упрощая выражение, получаем: ∫(sin(x/2))^2 dx = -1/2 * cos(x/2) * sin(x/2) + 1/4 * ∫cos^2(x/2) dx

Замена переменной

Еще один способ найти первообразную от sin^2(x/2) - это использовать замену переменной. Замена переменной - это метод, который позволяет заменить сложное выражение новой переменной и упростить интеграл.

Давайте заменим x/2 на новую переменную t: t = x/2

Тогда dx = 2dt и sin(x/2) = sin(t).

Мы можем переписать наш интеграл как: ∫(sin(x/2))^2 dx = ∫(sin(t))^2 * 2dt = 2∫sin^2(t) dt

Теперь у нас есть интеграл ∫sin^2(t) dt, который может быть проще решить. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность для sin^2(t) и получить: ∫sin^2(t) dt = ∫(1 - cos(2t))/2 dt = (t - sin(2t))/2 + C

Теперь, чтобы получить ответ в исходных переменных, мы заменяем t обратно на x/2: ∫(sin(x/2))^2 dx = 2 * [(x/2) - sin(2(x/2))]/2 + C = (x - sin(x))/2 + C

Таким образом, первообразная от sin^2(x/2) равна (x - sin(x))/2 + C, где C - произвольная постоянная.