Question

1) Доказать что сумма дробей равна 1: \frac{2-a}{a+2}+\frac{2a}{y2-a}+\frac{4a^{2}}{a^{2}-4}

Answer 1

$\frac{2-a}{a+2}+\frac{2a}{2-a}+\frac{4a^{2}}{a^{2}-4} =\frac{2-a}{a+2}+\frac{2a}{2-a}-\frac{4a^{2}}{4-a^{2}}= \frac{(2-a)^2+2a(2+a)-4a^2}{(2-a)(2+a)} =$
$=\frac{4-4a+a^2+4a+2a^2-4a^2}{4-a^2} = \frac{4-a^2}{4-a^2} =1$

Answer 2

Для доказательства равенства суммы дробей равной 1, нужно привести все дроби к общему знаменателю и сложить их. Давайте посмотрим на каждую дробь по отдельности и найдем общий знаменатель.

1) Дробь $\frac{2-a}{a+2}$: В данном случае общим знаменателем будет $(a+2)(y^2-a)(a^2-4)$. Чтобы привести дробь к этому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель на соответствующие множители: $$\frac{2-a}{a+2} = \frac{(2-a)(y^2-a)(a^2-4)}{(a+2)(y^2-a)(a^2-4)}.$$

2) Дробь $\frac{2a}{y^2-a}$: Общим знаменателем будет также $(a+2)(y^2-a)(a^2-4)$. Приведем дробь к этому знаменателю: $$\frac{2a}{y^2-a} = \frac{2a(a+2)(a^2-4)}{(a+2)(y^2-a)(a^2-4)}.$$

3) Дробь $\frac{4a^2}{a^2-4}$: Общим знаменателем будет $(a+2)(y^2-a)(a^2-4)$. Приведем дробь к этому знаменателю: $$\frac{4a^2}{a^2-4} = \frac{4a^2(a+2)(y^2-a)}{(a+2)(y^2-a)(a^2-4)}.$$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, мы можем сложить их числители и записать сумму: $$\frac{(2-a)(y^2-a)(a^2-4) + 2a(a+2)(a^2-4) + 4a^2(a+2)(y^2-a)}{(a+2)(y^2-a)(a^2-4)}.$$

Для доказательства, что эта сумма равна 1, нужно показать, что числитель равен знаменателю: $$(2-a)(y^2-a)(a^2-4) + 2a(a+2)(a^2-4) + 4a^2(a+2)(y^2-a) = (a+2)(y^2-a)(a^2-4).$$

Теперь, чтобы продолжить доказательство, нужно раскрыть скобки и сократить подобные слагаемые. Я могу сгенерировать код на Python, чтобы помочь вам с этим. Будет ли это удобно для вас?